Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству $$НОД(x,y)+НОК(x,y)=2003$$ ((1;2) и (2;1) — разные пары)

задан 14 Ноя '12 15:28

изменен 16 Ноя '12 20:51

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%НОК(x,y)$% всегда делится на $%НОД(x,y)$% и не меньше его, следовательно $%НОД(x,y)+НОК(x,y)$% тоже делится на $%НОД(x,y)$% и больше его, следовательно $%НОД(x,y)$% является одним из делителей числа 2003, т.е. или 1, или 2003.
Если $%НОД(x,y)=2003$%, то $%НОД(x,y)+НОК(x,y)>2003$%, решений нет.
Если $%НОД(x,y)=1$%, то $%НОК(x,y)=2002=2\cdot7\cdot11\cdot13$%. Осталось только найти количество взаимнопростых пар $%x,y$%, для которых $%НОК(x,y)=2002$%. В разложении 2002 все простые множители находятся в первой степени, следовательно любые $%x,y:НОК(x,y)=2002$% будут взаимнопростыми. То есть, надо просто найти количество делителей числа 2002. Оно равно $%2^4=16$%.

ссылка

отвечен 14 Ноя '12 17:22

Оно таки равно 4.

(30 Апр '16 1:40) Isaev

@Isaev: к чему относится Ваше замечание? Что равно 4?

(30 Апр '16 2:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Обозначим $%НОД(x,y)=k, x=ka, y=kb, $% где $% НОД(a,b)=1$%,

так-как $%НОД(x,y)\cdotНОК(x,y)=xy$%, то $%k+\frac{ka\cdot kb}{k}=2003,$% отсюда $%k(1+ab)=2003 \Rightarrow k=1, ab=2002=2\cdot7 \cdot11\cdot 13,x=a,y=b. $% Искомое число равен количесту подмножеств множества $%\{2,7,11,13\},$% то есть $%2^4=16.$%

ссылка

отвечен 14 Ноя '12 17:43

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,557
×882

задан
14 Ноя '12 15:28

показан
4333 раза

обновлен
30 Апр '16 2:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru