|
Сколько пар натуральных чисел удовлетворяют равенству $$НОД(x,y)+НОК(x,y)=2003$$ ((1;2) и (2;1) — разные пары) задан 14 Ноя '12 15:28 
danny_leonov |
|
$%НОК(x,y)$% всегда делится на $%НОД(x,y)$% и не меньше его, следовательно $%НОД(x,y)+НОК(x,y)$% тоже делится на $%НОД(x,y)$% и больше его, следовательно $%НОД(x,y)$% является одним из делителей числа 2003, т.е. или 1, или 2003. отвечен 14 Ноя '12 17:22 
chameleon |
|
Обозначим $%НОД(x,y)=k, x=ka, y=kb, $% где $% НОД(a,b)=1$%, так-как $%НОД(x,y)\cdotНОК(x,y)=xy$%, то $%k+\frac{ka\cdot kb}{k}=2003,$% отсюда $%k(1+ab)=2003 \Rightarrow k=1, ab=2002=2\cdot7 \cdot11\cdot 13,x=a,y=b. $% Искомое число равен количесту подмножеств множества $%\{2,7,11,13\},$% то есть $%2^4=16.$% отвечен 14 Ноя '12 17:43 
ASailyan |