Пусть в поле $% F $% выполнено условие $% 2 \neq 0 $%. Пусть $% Q $% - невырожденная квадратичная форма на $% V $%. Предположим, что $% Q(v) = 0 $% для некоторого ненулевого вектора $% v \in V$%. Докажите, что тогда отображение $% Q : V \rightarrow F$% сюръективно.

задан 26 Май '16 14:04

10|600 символов нужно символов осталось
8

Ниже мы считаем, что характеристика основного поля не равна двум.

Хорошо известно, что любую квадратичную форму невырожденной линейной заменой координат можно привести к виду (эту процедуру часто называют методом Лагранжа):

$$q(\underline{x}) = \sum_{i=1}^{n}a_ix_i^2.$$

Если изначально $%q$% была невырождена, то все $%a_i$% будут отличны от нуля.

Пусть теперь $%\underline{x} = (x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{F}^n$% и $%\underline{x'} = (x_1',\dots,x_n')\in \mathbb{F}^n$% --- это такие векторы, что $%q(\underline{x}) = q(\underline{x'})=0$%. Для произвольного числа $%y\in\mathbb{F}$% рассмотрим величину $%q(\underline{x}+y\underline{x'})$%:

$$q(\underline{x}+y\underline{x'}) = \sum_{i=1}^{n}a_i(x_i+yx_i')^2 = \sum_{i=1}^{n}a_ix_i^2+2y\cdot\sum_{i=1}^{n}a_ix_ix_i'+y^2\cdot\sum_{i=1}^{n}a_ix_i'^2 =\\= q(\underline{x})+2y\cdot\sum_{i=1}^{n}a_ix_ix_i'+y^2\cdot q(\underline{x'}) = 2y\cdot\sum_{i=1}^{n}a_ix_ix_i'.$$

Теперь мы хотим подобрать векторы $%\underline{x} = (x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{F}^n$% и $%\underline{x'} = (x_1',\dots,x_n')$% так, чтобы $%\sum_{i=1}^{n}a_ix_ix_i'\ne 0$%. По условию существует $%\underline{x} \ne \underline{0}$%. Пусть $%j$%-я компонента этого вектора не равна нулю. Положим $%\underline{x'} = (x_1,\dots,x_{j-1},-x_j,x_{j+1},\dots,x_n)$%. В таком случае $%\sum_{i=1}^{n}a_ix_ix_i' = \sum_{i=1}^{n}a_ix_i^2-2a_jx_j^2 = -2a_jx_j^2\ne 0$% (т.к. $%2\ne 0$%, $%a_j\ne0$%, $%x_j\ne 0$%).

Если $%k\in \mathbb{F}$%, то полагая $%y=\frac{k}{2\sum_{i=1}^{n}a_ix_ix_i'}$% мы получаем $%q(\underline{x}+y\underline{x'}) = k$%.

ссылка

отвечен 28 Май '16 14:39

изменен 28 Май '16 14:42

В предпоследней строчке как вы сделали такой переход от суммы произведения xi' и xi, к сумме просто иксов?

(7 Июн '16 1:08) Rubyroid

В строке "Положим x'=(x1,.....,x_j-1, -x_j, x_j+1, ... x_n)" Вопрос: Почему такой вектор x' существует?

(7 Июн '16 1:10) Rubyroid

@Rubyroid: а что мешает существованию n-мерного вектора с заданными произвольными координатами?

(7 Июн '16 1:39) falcao
1

@Rubyroid Как сделал переход. Пусть, к примеру, $%n=3$%, $%j=2$%, тогда $%x_1' = x_1$%, $%x_3'=x_3$%, $%x_2'=-x_2$%. $%a_1x_1x_1'+a_2x_1x_1'+a_3x_3x_3' = a_1x_1^2-a_2x_2^2+a_3x_3^2 = a_1x_1^2+(a_2x_2^2-2a_2x_2^2)+a_3x_3^2 = a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2-2a_2x_2^2.$%

Почему такой вектор существует? А кто ему запретит существовать?

(7 Июн '16 2:17) Sunbro
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,083
×206
×75
×36

задан
26 Май '16 14:04

показан
726 раз

обновлен
7 Июн '16 2:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru