Биссектриса BD треугольника ABC равна 6 и делит сторону AC га отрезки AD=3 и DC=4. в треугольники ABC и CBD вписаны окружности, они косаются стороны АС в точках К и М. Нати длину отрезка КМ.

задан 26 Май '16 21:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

По свойству биссектрисы, отношение длин сторон $%BA:BC$% равно $%AD:DC=3:4$%. Положим $%AB=3x$%, $%BC=4x$%.

Квадрат длины биссектрисы равен $%36=BD^2=BA\cdot BC-DA\cdot DC=12x^2-12$%, откуда $%x=2$%.

В треугольнике $%BCD$% стороны равны $%4$%, $%6$%, $%8$%; полупериметр равен $%p=9$%. Отсюда $%DM=p-BC=1$% по известной формуле.

В треугольнике $%ABC$% стороны равны $%6$%, $%7$%, $%8$%. Полупериметр равен $%\frac{21}2$%, и из тех же соображений, что и выше, $%AK=\frac{21}2-8=\frac52$%. Поэтому $%KD=AD-AK=1/2$% и $%KM=KD+DM=3/2$%.

ссылка

отвечен 26 Май '16 23:26

изменен 29 Май '16 16:05

@falcao, почему K есть середина AD?... серединой же будет основание высоты, опущенной из $%B$%...

(27 Май '16 0:06) all_exist

@all_exist: длина биссектрисы равна 6. Также в процессе решения было получено, что AD=3x=6. Треугольник ABD равнобедренный с вершиной B, и вписанная окружность касается его стороны AD в середине.

(29 Май '16 9:21) falcao

@falcao, я конечно дико извиняюсь... НО ...

Также в процессе решения было получено, что AD=3x=6. - вроде по условию AD=3...

Треугольник ABD равнобедренный с вершиной B, и вписанная окружность касается его стороны AD в середине - с этим трудно спорить... Вот только при чём тут треугольник ABD?... в условии говорится про треугольники ABC и CBD ...

(29 Май '16 15:50) all_exist

@all_exist: я в одном месте опечатался (имелось в виду, что AB=3x, BC=4x, и именно это далее использовалось), а в одном месте просто недосмотрел. Я сразу представил себе две окружности, вписанные в треугольники, разделённые биссектрисой. То, что один из них -- это исходный треугольник -- несколько неожиданно (если это не опечатка).

P.S. Всё исправил.

(29 Май '16 15:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Обозначим $%AB=3x$%, $%BC=4x$%, что вытекает из теоремы о биссектрисе... Пусть $%\angle ABC=2\beta$% ...

Длина биссектрисы вычисляется по формуле $$ BD=\frac{2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos\beta}{AB+ BC} \quad\Rightarrow\quad 6=\frac{24\cdot x\cdot\cos\beta}{7} $$ или $%4\cdot x\cdot\cos\beta = 7$%... таким образом, если опустить высоту $%CH$% на прямую $%BD$%, то $%BH=7$%... следовательно, $%DH=1$%... и после пары применений теоремы Пифагора получаем, что $%BC=8$%, а $%AB=6$%...

Проведём $%BN$% - биссектрису угла $%CBD$%... и биссектрису $%CL$%...
Обозначим $%O=BD\cap CL$% - центр окружности, вписанной в треугольник $%ABC$%, а $%Q=BN\cap CL$% - центр окружности, вписанной в треугольник $%CBD$%...

По теореме о биссектрисе $%BO=4,\; OD=2$%... и снова по теореме о биссектрисе $%OQ=y,\; QC=2y$% ... Тогда по теореме Фалеса $%KM=\frac{1}{3}\,KC$% ($%K$% точка касания большей окружности) ... И снова по теореме Фалеса $%AK=5KD$% ...

Ну, в общем ответ получается красивым...

ссылка

отвечен 26 Май '16 23:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×27

задан
26 Май '16 21:35

показан
1340 раз

обновлен
29 Май '16 16:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru