Как доказать гомоморфизм группы перестановок левых ( ну или правых) смежных классов группы Н?

задан 27 Май '16 16:46

1

@МаксимГорький: для начала надо грамотно сформулировать саму задачу. "Как доказать гомоморфизм" -- в такой форме не говорят. Доказать можно утверждение, а гомоморфизм -- это отображение групп.

Грубо говоря, можно доказать, что синус принимает значения от -1 до 1, но нельзя доказать сам синус.

То есть формулировку надо исправить, а потом уже рассуждать.

(27 Май '16 19:07) falcao

@falcao, доказать, что отображение группы Н в группу перестановок левых смежных классов является гомоморфизмом. ( Т: Н—>G, Т -гомоморфизм?)

(28 Май '16 22:43) МаксимГорький
10|600 символов нужно символов осталось
1

Лучше рассматривать правые смежные классы.

Сам факт легко следует из ассоциативности операции в группе. Рассмотрим полный набор правых смежных классов по подгруппе $%H$%. Для простоты будет считать, что индекс $%H$% в $%G$% конечен, хотя то же самое верно в общем случае. Итак, пусть $%X=\{Hg_1,...,Hg_n\}$% -- множество всех правых смежных классов. Каждому элементу $%g\in G$% сопоставим перестановку на множестве $%X$% следующим образом: умножим справа список смежных классов на $%g$%. Получится список $%Hg_1g,...,Hg_ng$%, состоящий из правых смежных классов. Легко видеть, что при этом получается перестановка. Тем самым, каждому $%g\in G$% сопоставлена перестановка $%\phi(g)$% на множестве $%X$%, переводящая $%Hg_i$% в $%Hg_ig$% для любого $%i$%.

Требуется доказать, что $%\phi(gh)=\phi(g)\circ\phi(h)$%, где $%\circ$% обозначает композицию перестановок (выполняемых слева направо). Из ассоциативности следует, что $%Hg_i\cdot gh=(Hg_i\cdot g)\cdot h$%, а это и значит, что умножить на $%gh$% сразу -- всё равно что сначала умножить на $%g$%, а потом на $%h$%. Поэтому результат последовательного выполнения $%\phi(g)$% и $%\phi(h)$% равносилен выполнению $%\phi(gh)$%, что и требовалось проверить.

ссылка

отвечен 29 Май '16 9:32

@falcao, спасибо.

(30 Май '16 7:31) МаксимГорький
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,292
×1,189
×254
×233

задан
27 Май '16 16:46

показан
337 раз

обновлен
30 Май '16 7:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru