Как вычислить такой несобственный интеграл

$$\int_{0}^{\infty }x^{2}*\sin^{2} (2x) * e^{-3x} dx$$

определив его как значение интеграла g в точке p?
Здесь нужно взять с отрицательным знаком изображение оригинала

$$x*\sin^{2} (2x)$$

и продифференцировать его, а потом вычислить его в точке 3? Или я ошибаюсь?

задан 15 Янв '12 0:52

изменен 15 Янв '12 12:46

Вроде бы не ошибаетесь. Или можно не дифференцировать, а просто вычислить в точке 3 значение изображения оригинала $$x^2*sin^2(2x)$$ Меня только пределы интегрирования смущают. На нижнем должен быть, вроде 0. Впрочем, можно данный вам расписать как разность, тогда еще надо будет вычислить интеграл от 0 до x

(15 Янв '12 12:37) Hedgehog

Все верно - 0, в час ночи лучше не заниматься математикой )

(15 Янв '12 12:42) Егор Соколов

Получаю $$\int_{0}^{\infty }x^{2}\sin^{2} {2x} e^{-3x}dx = \int_{0}^{\infty }x^{2}\frac{(1-cos {4x})}{2}e^{-3x} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{2}e^{-3x}dx- \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}\cos 4x}{2}e^{-3x}dx
$$

Отсюда изображение $$ \widetilde{f(p)} = \frac{2!}{2p^{3}}[3] - \frac{1}{2}({\frac{p^{2}-4^{2}}{(p^{2}+4^{2})^{2}}})'[3]$$

(15 Янв '12 16:34) Егор Соколов
10|600 символов нужно символов осталось
1

Применим Mathcad и найдем изображение функции $%x^2sin^2(2x)$%. Смотрите картинку

alt text

Примем $%s=p=3$%. Получим значение интеграла $$\frac {18784} {421875}$$.

Решим вручную $%f_1=sin^22x=(1-cos4x)/2$% Находим изображение по таблице $$F_1=\frac {1}{2p}-\frac {1}{2} \frac {p}{p^2+16}=8\frac {p}{p^2+16}$$. Теорема. $$xf(x)\rightarrow -\frac{dF}{dp}$$ Отсюда $$x*f_1\rightarrow -F' $$ Значит, $$xsin^22x=\rightarrow -8{(\frac {p}{p^2+16}})'= 8\frac {(3p^2+16)}{p^2(p^2+16)^2}$$

Снова применям теорему $$x^2sin^22x=-8 (\frac {(3p^2+16)}{p^2(p^2+16)^2})'= $$ $$32\frac {(3p^4+24p^2+128)}{p^3/(p^2+16)^3}$$ Примем $%s=p=3$%.Получим ответ $$\frac {18784} {421875}$$.

ссылка

отвечен 15 Янв '12 16:50

изменен 15 Янв '12 21:10

@ValeryB Картинки вставляются путем нажатия кнопки редактора с картинкой.

(15 Янв '12 17:27) ХэшКод

Mathcad - это конечно хорошо, но задача ведь учебная, хочется разобрать в алгоритме решения

(15 Янв '12 19:59) Егор Соколов

Спасибо большое!

(15 Янв '12 21:09) Егор Соколов
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×24

задан
15 Янв '12 0:52

показан
1441 раз

обновлен
15 Янв '12 21:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru