|
Как вычислить такой несобственный интеграл $$\int_{0}^{\infty }x^{2}*\sin^{2} (2x) * e^{-3x} dx$$ определив его как значение интеграла g в точке p? $$x*\sin^{2} (2x)$$ и продифференцировать его, а потом вычислить его в точке 3? Или я ошибаюсь? задан 15 Янв '12 0:52 
Егор Соколов |
|
Применим Mathcad и найдем изображение функции $%x^2sin^2(2x)$%. Смотрите картинку
Примем $%s=p=3$%. Получим значение интеграла $$\frac {18784} {421875}$$. Решим вручную $%f_1=sin^22x=(1-cos4x)/2$% Находим изображение по таблице $$F_1=\frac {1}{2p}-\frac {1}{2} \frac {p}{p^2+16}=8\frac {p}{p^2+16}$$. Теорема. $$xf(x)\rightarrow -\frac{dF}{dp}$$ Отсюда $$x*f_1\rightarrow -F' $$ Значит, $$xsin^22x=\rightarrow -8{(\frac {p}{p^2+16}})'= 8\frac {(3p^2+16)}{p^2(p^2+16)^2}$$ Снова применям теорему $$x^2sin^22x=-8 (\frac {(3p^2+16)}{p^2(p^2+16)^2})'= $$ $$32\frac {(3p^4+24p^2+128)}{p^3/(p^2+16)^3}$$ Примем $%s=p=3$%.Получим ответ $$\frac {18784} {421875}$$. отвечен 15 Янв '12 16:50 
ValeryB Mathcad - это конечно хорошо, но задача ведь учебная, хочется разобрать в алгоритме решения
(15 Янв '12 19:59)
Егор Соколов
Спасибо большое!
(15 Янв '12 21:09)
Егор Соколов
|
Вроде бы не ошибаетесь. Или можно не дифференцировать, а просто вычислить в точке 3 значение изображения оригинала $$x^2*sin^2(2x)$$ Меня только пределы интегрирования смущают. На нижнем должен быть, вроде 0. Впрочем, можно данный вам расписать как разность, тогда еще надо будет вычислить интеграл от 0 до x
Все верно - 0, в час ночи лучше не заниматься математикой )
Получаю $$\int_{0}^{\infty }x^{2}\sin^{2} {2x} e^{-3x}dx = \int_{0}^{\infty }x^{2}\frac{(1-cos {4x})}{2}e^{-3x} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}}{2}e^{-3x}dx- \int_{0}^{\infty} \frac{x^{2}\cos 4x}{2}e^{-3x}dx
$$
Отсюда изображение $$ \widetilde{f(p)} = \frac{2!}{2p^{3}}[3] - \frac{1}{2}({\frac{p^{2}-4^{2}}{(p^{2}+4^{2})^{2}}})'[3]$$