последовательность - Существование предела

Известно, что $%(1+\frac1m)^m < e < (1+\frac1m)^{m+1}$% для всех натуральных $%m$%. Отсюда после логарифмирования получается $%\frac1{m+1} < \ln(1+\frac1m) < \frac1m$%.

Прологарифмируем произведение, не считая первого сомножителя: $%\ln\frac23a_n=\ln(1+\frac14)+\ln(1+\frac18)+\cdots+\ln(1+\frac1{2^n}) < \frac14+\frac18+\cdots+\frac1{2^n} < \frac12$%. Отсюда следует ограниченность последовательности $%a_n$% сверху. Поскольку она возрастает, она имеет предел, равный $%a$%. Из полученных неравенств после перехода к пределу следует, что $%\frac23a\le e^{1/2}$%. Строгое неравенство получается, если мы оставим один из членов (например, $%\ln(1+\frac14)$%), не заменяя его строго большим числом $%\frac14$%. При этом возникает оценка сверху вида $%\frac12-\varepsilon$% для некоторого положительного $%\varepsilon$%, откуда $%a < \frac32\sqrt{e}$%.

Для получения нижней оценки имеем $%\ln\frac23a_n > \frac15+\frac19+\cdots > \frac{14}{45}$%, что превышает $%\frac14$% и даёт оценку $%a\ge\frac32e^{14/45} > \frac32\sqrt[4]e$%, причём эту оценку можно существенно улучшить (например, до показателя $%\frac25$% вместо $%\frac14$%).