Существует ли треугольник с целочисленными сторонами, площадью и медианами? (Все-целочисленное)

задан 18 Ноя '12 18:13

10|600 символов нужно символов осталось
3

Интересная задача! Из общих соображений совершенно не ясно, какой тут ответ. В частности, существуют треугольники, у которых все стороны и все медианы имеют целочисленную длину. Найдено это было, конечно, при помощи компьютера. Я составил программу на Maple, и она мне выдала такой вот треугольник периметра $%480$%: его стороны равны $%136,170,174$%, а соответствующие длины медиан равны $%158,131,127$%. Площадь, к сожалению, не целочисленная. Она равна $%240\sqrt{2002}$% -- такое вот забавное значение.

Добавление 1 (01.03.13) Обнаружен ещё один интересный треугольник. Его стороны равны $%52,102,146$% (периметром $%300$%), площадь его равна $%1680$%, а из трёх медиан -- две имеют целочисленную длину. Вот длины медиан, соответствующие сторонам: $%4\sqrt{949},97,35$%. Найдено это, как и выше, при помощи компьютерной программы. Нельзя исключить, что при каких-то больших значениях может появиться треугольник, удовлетворяющий всем требуемым условиям. Но там надо придумать более совершенный принцип поиска, чтобы не проверять всё подряд.

Добавление 2 (01.03.13) Я поискал информацию в Сети. Оказывается, все эти треугольники были ранее найдены. Есть много других похожих примеров. А вот в этой заметке сказано, что вопрос о существовании треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью на данный момент остаётся открытым:

http://mathworld.wolfram.com/IntegerTriangle.html

Там же сказано, что имеется ряд ошибочных доказательств этого факта. Более того, мне попалась на глаза статья одного автора (2009 год), где утверждается, что не существует треугольников, у которых все стороны и медианы целочисленны. Это явно противоречит известным фактам. Вот здесь в Википедии есть информация (см. последнюю фразу перед списком литературы):

http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_triangle

Текст ошибочной статьи имеется здесь:

http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/0901/0901.1857.pdf

Ошибка содержится на стр. 7 вслед за формулой (4). Там сделан вывод, что $%2(m+1)=e_1$%, но это неверно. Дело в том, что число $%b^2+c^2$% чётно, и возникает ещё один дополнительный множитель, равный двум.

ссылка

отвечен 28 Фев '13 3:07

изменен 1 Мар '13 6:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

С целочисленными сторонами и площадью придывается легко - прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 Площадь у него 6. Что касается медиан - надо подумать.

ссылка

отвечен 18 Ноя '12 18:21

задача не из легких. Один из вариантов решения: можно доказать, что его нет

(18 Ноя '12 18:23) danny_leonov
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здравствуйте. По части данного вопроса мне довелось видеть вывод формулы. Формула позволяла получать все треугольники на плоскости, у которых стороны целочисленны и площадь целочисленна. К сожалению вывод этой формулы не могу вспомнить. Показывал мне этот вывод математик из Санкт-Петербуга, зовут Александр. Если вдруг кто знает можете спросить у него :) . Кстати, не относится ли условия данной задачи к классу Диофантовых уравнений?

ссылка

отвечен 24 Сен '14 10:58

Это известный результат о героновых треугольниках. Он цитируется, например, здесь. Более подробно можно прочитать здесь. В принципе, этот вопрос по своей формулировке относится к диофантовым уравнениям.

(24 Сен '14 16:38) falcao

Спасибо! :) Буду знать

(25 Сен '14 6:17) xabik
10|600 символов нужно символов осталось
0

На счёт медианы ничего сказать не могу, но вот похожую задачку Решали там.

Я то же решил вывести формулу для Геронова треугольника. Вот, что получилось.

$$S_g=\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}$$

Числа $p,s,k,t$ - целые и задаются нами. Тогда решения имеют вид.

$$a=(pt+ks)(k^2+t^2)ps$$

$$b=(pt-ks)((k^2+t^2)ps+(p^2+s^2)kt)$$

$$c=(pt+ks)(p^2+s^2)kt$$

$$S_g=4pskt(p^2t^2-k^2s^2)((k^2+t^2)ps+(p^2+s^2)kt)$$

ссылка

отвечен 25 Сен '14 10:36

10|600 символов нужно символов осталось
0

Треугольники с целочисленными сторонами, медианами и площадью были найдены студентом-магистрантом первого курса СКГМИ (ГТУ) Хосроевым. Вот стороны одного из них: a = 1864, b = 1964, c = 3228.

ссылка

отвечен 6 Фев '15 23:12

2

@Виталий Гроппен: медианы у этого треугольника действительно целочисленны, а площадь таковой не является. Полупериметр равен p=3528, и далее p-a=1664, p-b=1564, p-c=300. Нетрудно заметить, что из этих чисел только одно делится на 13; при этом имеет место равенство p-a=13*128. Поэтому произведение p(p-a)(p-b)(p-c) делится на 13 и не делится на 13 в квадрате. А это квадрат площади, согласно формуле Герона. Значит, площадь не целочисленна.

(6 Фев '15 23:28) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,239

задан
18 Ноя '12 18:13

показан
2896 раз

обновлен
6 Фев '15 23:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru