$$sin^6x+cos^6x=\frac{7}{16}$$

задан 15 Янв '12 10:55

изменен 15 Янв '12 12:45

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$sin^6x +cos^6x = 7/16$$ Сумма кубов $$(sin^2x +cos^2x)(sin^4x -sin^2x cos^2x+cos^4x) = 7/16$$ Применим тождество тригонометрической единицы $%sin^2x +cos^2x=1$%. Добавим и вычтем $%2sin^2x cos^2x$%, чтобы получить квадрат суммы $$(sin^4x +2sin^2x cos^2x+cos^4x)-3sin^2x cos^2x = 7/16$$

$$(sin^2x +cos^2x)^2-3sin^2x cos^2x = 7/16$$ $$1-3sin^2x cos^2x = 7/16$$ $$1- 7/16=3sin^2x cos^2x$$ $$9/16=3sin^2x cos^2x$$ $$3/4=4sin^2x cos^2x;sin^22x= 3/4$$ $$sin2x= \pm \sqrt3/2; 2x= \pm arcsin(\sqrt3/2)+\pi {n}$$

ссылка

отвечен 15 Янв '12 11:24

изменен 15 Янв '12 12:48

где можно почитать как этим методом решить

(15 Янв '12 11:27) Maxim Pro

не очень понятен переход от $$(sin2x+cos2x)(sin4x−sin2xcos2x+cos4x)=7/16$$ к $$(sin4x+2sin2xcos2x+cos4x)−3sin2xcos2x=7/16$$

(15 Янв '12 11:48) Maxim Pro

Добавим и вычтем $%2sin^2x cos^2x$%, чтобы получить квадрат суммы

(15 Янв '12 11:55) ValeryB
1

Не советую особенно много читать. Пытайтесь запомнить идею решения и при каких условиях она сработала. НапримерЮ заметили, что можно применить сумму кубов, которая выделит фрагмент формулы тригоном единицы. Мы почуствовали, что сложная запись превратится в более простую. Это подсказка нам, что мы на правильном пути.Решайтие больше примеров и задавайте их побольше в форуме. Сами пытайтесь ответить на чужиие вопросы

(15 Янв '12 13:20) ValeryB
10|600 символов нужно символов осталось
1

Есть другой, более лёгкий способ, нужно синусы разложить по формуле $$sin^2(x)=1-cos^2(x)$$ после раскрытия скобок останется выражение $$3cos^4(x)-3cos^2(x)+9/16=0$$ берём $$cos^2(x)$$ за t, и решаем обычное квадратное уравнение, $$3t^2-3t+9/16=0$$ находим 2 корня 1/4 и 3/4 равные $$cos^2(x)$$ следовательно $$cos(x)=1/2$$ и $$ \sqrt3/2$$ и x = 30 или 60 градусов.

ссылка

отвечен 15 Янв '12 14:01

изменен 15 Янв '12 14:26

Для начала следует записать правильно формулу $$sin^2(x)=(1-cos^2(x))/2$$. Второе, легче не будет, особенно, если применили неправильную формулу. Не забывайте, что приходится возводить в 4-е или 6-е степени , или в квадрат . Преобразования от этого не станут прозрачными

(15 Янв '12 14:10) ValeryB

Формулу я сам впопыхах неправильно записал. Но суть комментрария остается

(15 Янв '12 14:11) ValeryB

ну кому что легче))

(15 Янв '12 14:20) Yeg0R

Согласен с Вами

(15 Янв '12 15:34) ValeryB

Хмм, а, прошу прощения, откуда вы взяли $%sin^2(x)=(1−cos^2(x))/2?$% Вы, часом, не перепутали с $%sin^2(x)=(1−cos(2x))/2?$% Или я чего-то не понимаю?

(23 Янв '12 16:19) Occama
10|600 символов нужно символов осталось
0

Введем замену $%sin^2x=t$%, тогда, учитывая, что $%cos^2x=1-sin^2x$%, получаем $%t^3+(1-t)^3=7/16$%, откуда $%t^2-t+3/16=0$%. Решая квадратное уравнение, находим корни $%t_1=1/4, t_2=3/4$%. Дальнейшее очевидно.

ссылка

отвечен 15 Янв '12 19:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×786
×778

задан
15 Янв '12 10:55

показан
3814 раз

обновлен
23 Янв '12 16:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru