Как вычислить расстояние между двумя прямыми?

первая прямая: $%{x-1\over 1} ={y\over 2}={z-1\over -1}$%

вторая прямая:

$%\begin{cases} 2x-y=2 \\
y+2z=-2\end {cases} $%

Весь вечер голову ломал, так и не понял как :(

задан 19 Ноя '12 14:09

изменен 19 Ноя '12 14:35

DocentI's gravatar image


9.8k1242

10|600 символов нужно символов осталось
3

Прямая $%{x-1\over 1} ={y\over 2}={z-1\over -1}$% проходит через точку $%A(1;0;1)$% и параллельна вектору $%\overline{(1;2;-1)}$%. Далее $%\begin{cases} 2x-y=2, \\ y+2z=-2,\end {cases}\Leftrightarrow \begin{cases} \frac{x-1}{1}=\frac{y}{2},\\\frac{z+1}{-1}=\frac{y}{2}.\end {cases}$%. Уравнение этой прямой в каноническом виде $%\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}.$% Эта прямая проходит через точку $%B(1;0;-1)$% и параллельна вектору $%\overline{(1;2;-1)}$%, значит прямые параллельны. Уравнение плоскости, проходящей через точку $%A$% и перпендикулярную прямым, имеет вид $%1\cdot(x-1)+2\cdot(y-0)-1(z-1)=0\Leftrightarrow x+2y-z=0.$% Уравнение прямой $%\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$% в параметрическом виде $%x=1+t,y=2t,z=-1-t$%. Для нахождения точки пересечения плоскости с этой прямой, решим уравнение $%1+t+4t+1+t=0\Leftrightarrow t=-\frac{1}{3}$%. Искомая точка $%C(\frac{2}{3};-\frac{2}{3};-\frac{2}{3})$%. Расстояние между прямыми будет равно расстоянию между точками $%A$% и $%C.$%

ссылка

отвечен 19 Ноя '12 17:49

изменен 19 Ноя '12 18:49

Получился ответ sqrt(30/9) - это нормально?

(20 Ноя '12 1:47) dekamaru

А что, бывают числа "нормальные" и "ненормальные"?

(20 Ноя '12 2:20) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Например, так.
Надо найти общий перпендикуляр двух прямых.

Вторая прямая есть пересечение двух плоскостей. Первая перпендикулярна вектору $%(2, -1, 0)$%, вторая - вектору $%(0, 1, 2)$%. Любой вектор, перпендикулярный этой прямой, является линейной комбинацией этих двух. То есть имеет вид $%\lambda (2, -1, 0)+ \mu (0, 1, 2) =(2\lambda, \mu-\lambda, 2\mu)$%.

С другой стороны, искомый вектор перпендикулярен вектору $%(1; 2; -1)$%, т.е. направляющему вектору первой прямой. Значит, их скалярное произведение равно 0. Это условие имеет вид $%1\cdot 2\lambda +2\cdot (\mu-\lambda) + (-1)\cdot2\mu = 0$%. Но оно выполняется тождественно, значит, любой вектор, перпендикулярный второй прямой, перпендикулярен и первой. То есть эти прямые параллельны.

Проведем общий перпендикуляр к двум прямым через точку $%P = (1; 0; 1)$%? лежащую на первой прямой. Перпендикулярная ей плоскость, проходящая через ту же точку, есть $%1\cdot(x-1) + 2y + 1\cdot(z - 1)$%. Совместно с двумя уравнениями, определяющими вторую прямую, получаем систему из трех уравнений с 3 неизвестными. Ее решение - точка Q на второй прямой.
Теперь расстояние между двумя прямыми можно найти как расстояние между точками P и Q.

ссылка

отвечен 19 Ноя '12 14:58

изменен 19 Ноя '12 22:19

10|600 символов нужно символов осталось
2

Направляющий вектор и точка первой (второй) прямой $%p_1=(1;2;-1), A_1(1;0;1); p_2=(1;2;-1)$% как векторное проиведение двух нормальных векторов $%(2;-1;0); (0;1;2)$%. Прямые параллельны, точка второй прямой $%A_2(1;0;-1)$%. Вектор $%A_1A_2=(0;0;-2)$%. Расстояние равно модулю векторного произведения векторов $%A_1A_2\cdot p_1$% , деленому на модуль вектора $%p_1$% . Имеем $%A_1A_2\cdot p_1=(4;-2;0); $% модуль равен $%\sqrt{20}$%; модуль вектора $%|p_1|=\sqrt6$%. Ответ $%\sqrt{30}/3$%.

ссылка

отвечен 19 Ноя '12 23:31

изменен 20 Ноя '12 2:20

DocentI's gravatar image


9.8k1242

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×713

задан
19 Ноя '12 14:09

показан
9693 раза

обновлен
20 Ноя '12 2:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru