Возникли трудности с разложением на множители следующего выражения: $$2x^4 + x^3 + 4x^2 + x + 2$$

$$4x^2=2x^2 + 2x^2$$

Потом $%2x^2$% вынес за скобки $$2x^2(x^2 + 2) + x^3 + x + 2$$ Дальше не знаю что делать.

задан 19 Ноя '12 19:34

изменен 21 Ноя '12 19:28

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

$%2x^4 + x^3 + 4x^2 + x + 2=2(x^4+2x^2+1)+x^3+x=2(x^2+1)^2+x(x^2+1)=$%

$%=(x^2+1)(2x^2+x+2).$%

ссылка

отвечен 19 Ноя '12 20:04

10|600 символов нужно символов осталось
2
  1. Приравнять выражение к нулю.
  2. Поделить каждый член выражения на $%x^2$%
  3. Сгруппировать члены выражения с одинаковыми степенями иксов
  4. Получится $%2((x^2+(1/x^2))+(x+1/x)+4=0$%
  5. $%x+1/x = y; (x^2+1/x^2) = y^2-2$%
  6. Заменить
  7. Получится $%y(2y+1)=0.$% Подставить вместо $%у$% $%x+1/x$%
  8. Получится, что многочлен, который нужно разложить на множители равен $%(x^2+1)(2x^2+x+2)$%
ссылка

отвечен 19 Ноя '12 20:09

изменен 20 Ноя '12 20:34

Deleted's gravatar image


126

@epimkin, ставьте в конце абзаца 2 пробела, иначе переноса строки не будет.

(19 Ноя '12 23:05) DocentI

Этот метод хоть и длиннее, зато более общий!

(19 Ноя '12 23:05) DocentI

Спасибо, учту. Ну да, здесь алгоритм, и воображение включать не надо. У мужчин обычно с воображением туго почему-то

(20 Ноя '12 0:43) epimkin

очень полезно снабдить человека алгоритмом! На этой задаче математика ведь не заканчивается.

(20 Ноя '12 0:57) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Вопрос простой, квалифицированно отвеченный @Anatoliy, и всё-таки надо обратить внимание @metjh на будущее. Пусть $$f(x) = 2x^{4} + x^{3} + 4x^{2} + x + 2; f(0) = 2; f(1) = 10; f(-1) = 6$$ значит, один сомножитель равен либо: 1)$$f(x) = (x + 1)$$ либо: 2)$$f(x) =(x^{2} + 1)$$ Вместо 1 не может стоять 2, потому что 10 не делится на 3. По этой же причине коэффициент перед x не может быть больше 1. Далее. Случай 1) не подходит, потому что 1) $$f(-1) = 0$$ что невозможно. Итак: один сомножитель имеет вид 2). Далее можно разделить исходный многочлен на двучлен 2) и получить второй сомножитель. Можно представить второй сомножитель в виде $$f(x) = ax^{2} + bx + 2$$ Имеем два уравнения: $$f(1) = a + b + 2 = 10/2$$ $$f(-1) = a - b + 2 = 6/2$$ Отсюда: a = 2, b = 1. Алгоритм - это хорошо, но логика - надёжнее: она спасает в более сложных случаях, чем этот.

ссылка

отвечен 20 Ноя '12 22:06

изменен 21 Ноя '12 19:30

Deleted's gravatar image


126

Ваши рассуждения хороши только в том случае, если требуется найти разложение на многочлены с целыми коэффициентами. Если же коэффициент равен, например, $%\sqrt 2$%, говорить о делимости ( в обычном смысле) не получится.

Попробуйте применить Ваш метод к многочлену $%P(x)= x^4 + 1$%. Имеем $%P(0) = 1, P(1) = 2, ...$% По Вашему и у этого многочлена сомножителем может быть только $%x+ 1$% или $%x^2 + 1$%? На самом деле множителями будут $%(x^2+ \sqrt 2 x +1)(x^2-\sqrt 2 x +1)$%

Еще проще: $%x^2 + 2x - 1 = (x + 1 - \sqrt 2)(x +1 - \sqrt 2)$%

(21 Ноя '12 23:03) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,485

задан
19 Ноя '12 19:34

показан
1235 раз

обновлен
21 Ноя '12 23:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru