Добрый день! Необходимо вычислить следующие интегралы Лебега:
1)$%\int_{0}^{\infty}x3^{-x} {d\mu_F (x)},\ \ F(x) = [x]$%
Как я понимаю, в этом случае интеграл можно рассматривать только по множеству натуральных чисел, так как множество меры 0 не играет роли. Т.е, интеграл будет равен $%\sum_{1}^{\infty}n3^{-n}$%.
2) $%\int_{[-1,1]\times[0,2]} [x^2-y] {d\mu_L (x)}$%
Здесь, вероятно, нужно применить теорему Фубини, но я не очень понимаю, как задать сечения и проекции множества. Можно ли здесь перейти к повторному интегралу обычному, считая функции интегрируемы по Риману?
3)$%\int_{-3}^{3} sign(cos(\pi x)) {d\mu_F (x)},\ \ F(x) = 2^x$%
В этом случае нужно перейти к последовательности абсолютно-непрерывных функций, каждая из которых интегрируема по Риману, а затем просуммировать все полученные значения интегралов?

задан 12 Июн '16 1:48

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) да 2) да. Функция на этом множестве интегрируема по Риману. Значит ее интеграл совпадает с интегралом Лебега. Так что обычная теорема Фубини 3) Ну типа того. Так как F(x) дифференцируема, то можно опять же перейти в интегралу Римана. А затем выделить участки, где косинус знакопостоянен и рассмотреть сумму интегралов

ссылка

отвечен 12 Июн '16 12:17

@no_exception: А насчет второго можно еще уточнить? Там же целая часть от разности берется. Я не совсем уверен, что она интегрируема по Риману. Не могу просто представить точки разрыва этой функции, мощность их множества, их расположение. Как-то закономерность выделить что ли. Можно просто "в лоб" написать по т. Фубини равенство интеграла $%\int_{[-1,1]}(\int_{[0,2]} [x^2-y])$% интегралу в условии? И если да, то как такой интеграл вычислить?

(12 Июн '16 16:30) True_Romance
1

@True_Romance: там множество точек разрыва состоит из отдельных кривых, поэтому имеет лебегову меру 0. Функция ограничена, и по критерию она интегрируема по Риману.

(12 Июн '16 16:51) falcao

Тогда все ясно, спасибо!

(12 Июн '16 17:23) True_Romance
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×180

задан
12 Июн '16 1:48

показан
600 раз

обновлен
12 Июн '16 17:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru