Доказать,что : 1. Любой сюръективный эндоморфизм нётерова модуля M является его автоморфизмом. 2. Любой инъективный эндоморфизм артинова модуля M является его автоморфизмом.

задан 16 Июн '16 12:44

10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Пусть $%f\colon M\to M$% сюръективен. Допустим, что он не инъективен. Тогда ядро будет ненулевым. Положим $%M_0=0$%, и по индукции $%M_{i+1}=f^{-1}(M_i)$% для всех $%i\ge0$%. Тогда имеют место собственные включения $%M_0\subset M_1\subset M_2\subset$%, и получается бесконечная возрастающая цепочка подмодулей, что противоречит определению нётеровости.

Сюръективность здесь используется для доказательства собственности всех включений по индукции. Если мы уже знаем, что $%M_i\subset M_{i+1}$%, то берём элемент $%y\in M_{i+1}\setminus M_i$%, и рассматриваем некоторый его прообраз $%x$%, то есть $%f(x)=y$%. Легко видеть, что $%x\in M_{i+2}\setminus M_{i+1}$%, поэтому следующее включение также собственное.

2) Здесь рассуждение аналогичное, и достаточно положить $%M_0=M$%, $%M_{i+1}=f(M_i)$% при $%i\ge0$%. Если $%f$% не сюръективен, то получается строго убывающая цепочка подмодулей.

ссылка

отвечен 16 Июн '16 17:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,486
×322
×206

задан
16 Июн '16 12:44

показан
311 раз

обновлен
16 Июн '16 17:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru