Пусть R — слабо нётерово ассоциативное кольцо. Тогда для всякого идеала I кольца R можно подобрать конечное семейство его первичных идеалов {P1,..., Рn}, для которых:

$$ \prod \limits_{i=1}^{n} P_i \subseteq I \subseteq \bigcap \limits_{i=1}^{n} P_i $$

задан 17 Июн '16 0:59

изменен 17 Июн '16 1:21

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%\Sigma$%- множество идеалов I, для которых таких $% P_1, \dots,P_n \in R$% не существует
По сути нужно доказать, что $%\Sigma$% пустое множество. Докажем это от противного: предположим, что $%\Sigma$% непусто. Тогда по определению слабо нетерового кольца в $%\Sigma$% есть максимальный идеал M. M не первичен (иначе можно было б взять n=1, $%P_1=$%М ). Непервичность M означает, что существуют идеалы J, K такие, что M ⊂ J,M ⊂ K, JK ⊆ M (внимание: ни J, ни K не равен M, включение строгое). По построению, J и K не лежат в $%\Sigma$% ( M - максимальный в $%\Sigma$% идеал, а они больше него). Значит, существуют первичные идеалы $%P_1,\dots P_m,P_{m+1},\dots ,P_n \in R $% такие, что $$\prod {i=1}^{m}P_i\subseteq J\subseteq \bigcap{i=1}^{m}P_i$$

$$\prod {i=1+m}^{n}P_i\subseteq K\subseteq \bigcap{i=1+m}^{n}P_i$$

Но тогда, $$\prod {i=1}^{n}P_i\subseteq JK\subseteq M\subseteq J\cap K\subseteq \bigcap{i=1}^{n}P_i$$

То есть $%\prod_{i=1}^{n}P_i \subseteq M \subseteq \bigcap_{i=1}^{n}P_i$% .

Но, значит, M не лежит в $%\Sigma$% . Пришли к противоречию, значит $%\Sigma$% - пустое.

ссылка

отвечен 17 Июн '17 1:17

изменен 17 Июн '17 17:08

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,235
×1,722
×393
×235
×103

задан
17 Июн '16 0:59

показан
465 раз

обновлен
17 Июн '17 17:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru