$$Исследовать \: на \: дифференцируемость \: в \: точке \: x = 0 \: функцию$$ $$ \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x-1}, \: x\neq0, \\ \frac{1}{2}, \qquad \quad \: \, x=0.
\end{cases} $$

задан 18 Июн '16 17:43

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%x\ne0$%. Тогда $%f(x)-f(0)=\frac1x-\frac1{e^x-1}-\frac12=\frac{2e^x-2-2x-xe^x+x}{2x(e^x-1)}=\frac{(2-x)e^x-2-x}{2x(e^x-1)}$%. Разложим числитель до членов третьего порядка: $%(2-x)(1+x+\frac12x^2+\frac16x^3+o(x^3))-2-x=-\frac16x^3+o(x^3)$%. В знаменателе будет $%2x(e^x-1)=2x(x+o(x))$%. Следовательно, $%\frac{f(x)-f(0)}x=\frac{-\frac16+o(1)}{2+o(1)}=-\frac1{12}+o(1)$%.

Тем самым, предел отношения приращения функции к приращению аргумента существует, и он равен $%-\frac1{12}$%. Это значит, что функция дифференцируема в нуле, причём $%f'(0)=-\frac1{12}$%.

ссылка

отвечен 18 Июн '16 18:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×20

задан
18 Июн '16 17:43

показан
209 раз

обновлен
18 Июн '16 18:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru