Доказать, что при отстутсвии 2-кручения в кольце $%R$% каждый кососимметрический многочлен $%f = f(x_1,...,x_n)$% принадлежит $%R[x_1,...,x_n]$% имеет вид $%f = V_ng$%, где $%V_n = V_n(x_1,...,x_n)$% — определитель Вандермонда, $%g = g(x_1,...,x_n)$% — симметрический многочлен

задан 22 Июн '16 16:17

1

Если кольцо R факториально, то я могу доказать (это просто).

(22 Июн '16 18:21) Sunbro

и все же, интересно решение для факториального кольца, если можно

(8 Июн '17 14:08) flamingo
10|600 символов нужно символов осталось
1

По-моему, тут можно рассуждать так. Если у кососимметрического многочлена $%x_i=x_j$% для некоторых $%i\ne j$%, то он тождественно нулевой. Рассматривая многочлен от переменной $%x_i$% с коэффициентами-многочленами от остальных переменных, применяем теорему Безу, согласно которой получается делимость на $%x_i-x_j$%. Так делаем для любой пары различных индексов. При этом нужно обосновать, что все такие разности можно одновременно выделить в качестве множителей.

Пусть мы уже выделили множитель $%x_1-x_2$%, то есть $%f=(x_1-x_2)h$% для некоторого многочлена $%h$%. Далее надо сделать это для другой пары $%x_i-x_j$%, где один из индексов 1 или 2 не присутствует. Как и раньше, мы получаем тождественно нулевой многочлен после отождествления $%x_i=x_j$%, но при этом $%x_1-x_2$% нулевым не становится. Отсюда можно вывести то, что требуется (для факториального случая получается чуть попроще).

Теперь, когда все попарные разности выделены, мы выделили определитель Вандермонда. При транспозиции оба многочлена $%f$% и $%V_n$% меняют знак, поэтому $%g$% не меняется.

Какие-то тонкости, возможно, здесь надо будет учесть, но серьёзных пробелов в этой схеме рассуждений я не вижу.

ссылка

отвечен 8 Июн '17 17:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,457
×427
×405
×147

задан
22 Июн '16 16:17

показан
486 раз

обновлен
8 Июн '17 17:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru