|
Дан неравнобедренный треугольник $%ABC$%, в котором $%\angle A=120^{\circ}$%. Пусть$%AL -$% его биссектриса, $%AK -$% медиана, проведенные с вершины $%A$%, точка $%O -$% центр окружности, описанной вокруг этого треугольника, $%F -$% точка пересечения $%OL$% и $%AK$%. Докажите, что $%\angle BFC =60^{\circ}$%. задан 24 Июн '16 18:36 
Роман83 |
|
$%\angle LKQ = \angle PAQ = \frac{\pi}{2} \Rightarrow$% четырехугольник $%LAQK$% - вписанный. $%\angle NQP= \angle PAM \Rightarrow NP=PM \Rightarrow \angle NKP= \angle FKQ $% $%QK=KO, \angle FOK=\angle KQN, \angle FKQ =\angle NKP \Rightarrow $% точки $%F$% и $%N$% симметричны относительно $%CB.$% отвечен 25 Июн '16 10:26 
Sergic Primazon |
|
Будем рассуждать в обратную сторону... Построим окружность $%\gamma_1$%, описанную около треугольника $%ABC$%, с центром в точке $%E$%... Построим окружность $%\gamma_2$%, описанную около треугольника $%EBC$%, с центром в точке $%D$%... Понятно, что это окружности одинакового радиуса... и центр одной окружности лежит на другой... Очевидно, что точка $%K$% - будет серединой $%DE$%... Проведём прямую $%AK$% до пересечения с окружностью $%\gamma_2$%... обозначим точку пересечения, расположенную снаружи $%\gamma_1$% как $%F$%, а внутри $%\gamma_2$% как $%G$% ... Пересечение прямой $%FE$% и $%BC$% обозначим как $%L$% ... Очевидно, что угол $%BFC=60^o$%... Таким образом, если мы покажем, что при таких построениях $%AL$% будет биссектрисой угла $%BAC$%, то задача будет решена... 1) Понятно, что $%FE$% - биссектриса угла $%BFC$%, следовательно, $%\frac{CF}{BF}=\frac{CL}{BL}$%... 2) Заметим следующее равенство углов $%\angle KFC = \angle GFC = \angle GBC = \angle ACB = \angle ACK$% ... 3) Аналогично показывается, что $%\angle KFB = \angle ABK$%, откуда следует подобие треугольников $%ABK\sim BFK$%, откуда $%\frac{AB}{BF}=\frac{AK}{CK}$%... Итого, из пунктов 2-3 получили, что $%\frac{AC}{CF}=\frac{AB}{BF}$% или $%\frac{AC}{AB}=\frac{CF}{BF}$% ... откуда, вкупе с пунктом 1 получается, что $%\frac{AC}{AB}=\frac{CL}{BL}$%... то есть $%AL$% действительно биссектриса угла $%BAC$% ... отвечен 25 Июн '16 1:59 
all_exist |
|
Ни в одном из двух приведенных доказательств не использовался тот факт, что угол равен $%60^\circ$% отвечен 26 Авг '16 0:18 
paha |