Здравствуйте! Нужно решить систему неравенств:

$$\begin{cases} 2x^2 + 4xy + 11y^2 \le 1 \\ 4x + 7y \ge 3 \end{cases}$$

задан 4 Июл '16 14:45

изменен 4 Июл '16 16:16

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%2(x+y)^2+9y^2\le1$%

$%4(x+y)+3y\ge3$%

Из первого условия $%x+y\le\frac1{\sqrt2}$%, поэтому $%4(x+y)\le2\sqrt2 < 3$%. Тогда неравенство $%y\ge1-\frac43(x+y) > 0$% можно возвести в квадрат. Получится $%y^2\ge1+\frac{16}9(x+y)^2-\frac83(x+y)$%, и тогда с учётом первого неравенства получится $%2(x+y)^2+9+16(x+y)^2-24(x+y)\le1$%. Упрощаем: $%9(x+y)^2-12(x+y)+4=(3(x+y)-2)^2\le0$%, откуда $%x+y=\frac23$%. Первое неравенство из условия принимает вид $%y^2\le\frac1{81}$%, а второе $%y\ge\frac19$%. Очевидно, что $%y=\frac19$% будет решением, притом единственным. Следовательно, $%x=\frac59$%, и получается единственное решение системы (оно подходит).

Смысл в том, что если вместо системы неравенств рассмотреть систему уравнений, то она решается при помощи исключения неизвестных, и решение получается одно. Далее графически представляем себе внутреннюю часть эллипса и прямую, которая его касается в одной точке. Проверяем, что эллипс лежит в той полуплоскости, для которой знак второго неравенства будет противоположным. Значит, и у системы неравенств решение одно.

ссылка

отвечен 4 Июл '16 15:45

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$(4x+7y)^2≥3^2,$$ $$+$$ $$-9(2x^2+4xy+11y^2)≥-9,$$ $$-2x^2+20xy-50y^2=-2(x-5y)^2≥0,$$ $$x=5y,$$ $$27y≥3,$$ $$81y^2≤1,$$ $$x=5/9,y=1/9.$$

ссылка

отвечен 10 Июл '16 16:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×42

задан
4 Июл '16 14:45

показан
941 раз

обновлен
10 Июл '16 16:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru