система-неравенств - Решить систему неравенств

$%2(x+y)^2+9y^2\le1$%

$%4(x+y)+3y\ge3$%

Из первого условия $%x+y\le\frac1{\sqrt2}$%, поэтому $%4(x+y)\le2\sqrt2 < 3$%. Тогда неравенство $%y\ge1-\frac43(x+y) > 0$% можно возвести в квадрат. Получится $%y^2\ge1+\frac{16}9(x+y)^2-\frac83(x+y)$%, и тогда с учётом первого неравенства получится $%2(x+y)^2+9+16(x+y)^2-24(x+y)\le1$%. Упрощаем: $%9(x+y)^2-12(x+y)+4=(3(x+y)-2)^2\le0$%, откуда $%x+y=\frac23$%. Первое неравенство из условия принимает вид $%y^2\le\frac1{81}$%, а второе $%y\ge\frac19$%. Очевидно, что $%y=\frac19$% будет решением, притом единственным. Следовательно, $%x=\frac59$%, и получается единственное решение системы (оно подходит).

Смысл в том, что если вместо системы неравенств рассмотреть систему уравнений, то она решается при помощи исключения неизвестных, и решение получается одно. Далее графически представляем себе внутреннюю часть эллипса и прямую, которая его касается в одной точке. Проверяем, что эллипс лежит в той полуплоскости, для которой знак второго неравенства будет противоположным. Значит, и у системы неравенств решение одно.