Задача: Дан вектор a. Нужно найти поток векторного поля через замкнутую п-ть по формуле: $$ П= \int \int \int div \vec{a} dxdydz $$ Сложность состоит в определении поверхности и соответственно пределов интегрирования. Дана поверхность, какие будут пределы при переходе к полярным координатам? И чему будет равен поток? $$ x^{2} + y^{2}=1-z, z=0 $$ $$ div \vec{a}=2z+2y$$ и ответ Pi. задан 25 Ноя '12 1:25 pomik |
Поток сведен к тройному интегралу по области, которая симметрична по x и по y. В частности, интеграл от 2y по этому телу будет равен 0 (это нечетная функция). Осталось найти интеграл от 2z, переходом к цилиндрическим координатам. $%x=r\cos \varphi,y=r\sin \varphi, z = h$%. При этом уравнения границ тела примут вид $%h = 1 - r^2, h = 0$%. Как видим. ограничений на $%\varphi$% нет, берем полный круг от 0 до $%2\pi$%. Ограничение на r происходит от того, что две поверхности пересекаются, ограничивая друг друга. Самое большое r соответствует самому маленькому h, т.е. h = 0, тогда r = 1. Ну, а h меняется от $% h = 0$% до $%h = 1 - r^2 $%. отвечен 25 Ноя '12 3:53 DocentI Не понял, почему интеграл по 2y будет равен нулю?
(26 Ноя '12 21:43)
pomik
Ну никак не получается решить этот интеграл... даже при интегрировании только 2z с ответом не сходится.
(26 Ноя '12 22:14)
pomik
Интеграл от 2y равен 0 в силу того, что эта функция нечетна по y, а область симметрична по y. Значит, все, что "с плюсом", сократится с тем, что "с минусом". Впрочем, у этого факта есть и строгое доказательство. Напишу решение в ответе.
(26 Ноя '12 23:51)
DocentI
Проверьте, правильно ли Вы записали формулу Остроградского.
(27 Ноя '12 0:11)
DocentI
Т.е. если область проецируется в виде окружности или другой симметричной фигуры на Oxy (центр (0,0)), то интеграл по x,y будет равен нулю, правильно? Ошибся я в нахождении дивергенции, частную производную непраильно посчитал. Спасибо за помощь)
(27 Ноя '12 22:39)
pomik
Нет, дело не только в проекции. Все трехмерное тело должно быть симметрично относительно плоскости y = 0. А функция - нечетной по y.
(27 Ноя '12 23:20)
DocentI
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Ничего, к сожалению, не смыслю, в потоках векторного поля. А поверхность - направленный вниз эллиптический параболоид. С z=0 пересекается в круге радиусом 1. Соответственно, для нахождения интеграла, скорее всего, следует сделать замену на цилиндрические координаты.
У Вас же применена формула Остроградского. Теперь интеграл не поверхностный, а тройной. Или надо, наоборот, от тройного вернуться к поверхностному?