Как решить вот такие пределы: $$lim _ {x->a} \frac{a^x-x^a}{x-a};$$ и $$lim _ {x->a} \frac{x^x-a^a}{x-a}?$$

задан 25 Ноя '12 16:44

изменен 25 Ноя '12 21:11

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Мне нужно решить без использования правила Лопиталя. надо через замечательные пределы

(25 Ноя '12 21:25) Женя
10|600 символов нужно символов осталось
2

Воспользуйтесь правилом Лопиталя.

1) $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{a^x-x^a}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^x-x^a)^\prime}{(x-a)\prime}=lim_{x\rightarrow a}\frac{a^xlna-ax^{a-1}}{1}=a^alna-a\cdot a^{a-1}=a^alna-a^a.$$

2) $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^x-a^a}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x^x-a^a)^\prime}{(x-a)\prime}=lim_{x\rightarrow a}\frac{x^x(lnx+1)}{1}=a^a(lna+1).$$

Без использования правила Лопиталя. Замечательные пределы $$\lim_{u\rightarrow0}\frac{a^u-1}{u}=lna; \lim_{u\rightarrow0}\frac{(1+u)^s-1}{u}=s.$$

1)$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{a^x-x^a}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^x-a^a)+(a^a-x^a)}{(x-a)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^x-a^a)}{(x-a)}+\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^a-x^a)}{(x-a)}=$$$$=a^a\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^{x-a}-1)}{(x-a)}-a^a\lim_{x\rightarrow a}\frac{(1+\frac{x}{a}-1)^{a}-1}{a(\frac{x}{a}-1)}=a^alna-a^a.$$

Аналогично и второй предел.

ссылка

отвечен 25 Ноя '12 17:10

изменен 25 Ноя '12 19:31

а можно решить без него? просто нам запретили им пользоваться. с помощью замечательных пределов надо

(25 Ноя '12 17:54) Женя
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×517
×310

задан
25 Ноя '12 16:44

показан
2054 раза

обновлен
25 Ноя '12 21:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru