анализ - Пределы вида $%lim _ {x->a} \frac{a^x-x^a}{x-a}$%

Воспользуйтесь правилом Лопиталя.

1) $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{a^x-x^a}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^x-x^a)^\prime}{(x-a)\prime}=lim_{x\rightarrow a}\frac{a^xlna-ax^{a-1}}{1}=a^alna-a\cdot a^{a-1}=a^alna-a^a.$$

2) $$\lim_{x\rightarrow a}\frac{x^x-a^a}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(x^x-a^a)^\prime}{(x-a)\prime}=lim_{x\rightarrow a}\frac{x^x(lnx+1)}{1}=a^a(lna+1).$$

Без использования правила Лопиталя. Замечательные пределы $$\lim_{u\rightarrow0}\frac{a^u-1}{u}=lna; \lim_{u\rightarrow0}\frac{(1+u)^s-1}{u}=s.$$

1)$$\lim_{x\rightarrow a}\frac{a^x-x^a}{x-a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^x-a^a)+(a^a-x^a)}{(x-a)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^x-a^a)}{(x-a)}+\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^a-x^a)}{(x-a)}=$$$$=a^a\lim_{x\rightarrow a}\frac{(a^{x-a}-1)}{(x-a)}-a^a\lim_{x\rightarrow a}\frac{(1+\frac{x}{a}-1)^{a}-1}{a(\frac{x}{a}-1)}=a^alna-a^a.$$

Аналогично и второй предел.