|
Написать уравнение касательной и нормальной плоскости в данной точке к следующей кривой: $$x^2 + z^2 = 10;$$
$$y^2 + z^2 = 10;$$ Задание 3531 в сборнике задач по матанализу (Демидович). задан 25 Ноя '12 17:14 
zhildemon |
|
Кривая определяется системой уравнений $%\begin{cases}x^2 + z^2 = 10, \\ y^2 + z^2 = 10,\end {cases}\Leftrightarrow\begin{cases}z^2 = 10-x^2, \\ y^2 = x^2.\end {cases}$% Для некоторой окрестности точки $%M(1:1:3)$% уравнение кривой в параметрическом виде будет иметь вид $%\begin{cases}x = t, \\ y = t,\\ z=\sqrt{10-t^2}.\end {cases}$% Уравнение касательной к кривой в точке $%(x_0=x(t_0);y_0=y(t_0);z_0=z(t_0))$% имеет вид $$\frac{x-x_0}{x^\prime(t_0) }=\frac{y-y_0}{y^\prime(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^\prime(t_0)}.$$ Имеем $%x^\prime(t)=1,x^\prime(t_0)=1;y^\prime(t)=1,y^\prime(t_0)=1;z^\prime(t)=-\frac{t}{\sqrt{10-t^2}},z^\prime(t_0)=z^\prime(1)=-\frac{1}{3}.$% Уравнение касательной: $$\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-\frac{1}{3}}.$$ Уравнение нормальной плоскости в точке $%(x_0;y_0;z_0)$% имеет вид $$x^\prime(t_0)(x-x_0)+y^\prime(t_0)(y-y_0)+z^\prime(t_0)(z-z_0)=0.$$ Для данной задачи $$x-1+y-1-\frac{1}{3}(z-3)=0\Leftrightarrow x+y-\frac{1}{3}z-1=0.$$ отвечен 26 Ноя '12 17:20 
Anatoliy |
|
Если поверхность задана неявным уравнением, то нормаль к ней можно найти как вектор из частных производных в точке. Например, нормаль к первой поверхности есть $%(2x, 0 ,2z)$%, можно сократить на 2, получим $%(x, 0, z)=(1, 0, 3)$%. аналогично нормаль ко второй поверхности будет $%(0, 1, 3)$%. Нормальная плоскость натянута на эти два вектора, а касательная перпендикулярна к ним. Вектор касательной можно получить как векторное произведение этих векторов. Он же будет нормалью к нормальной плоскости. $$\overrightarrow{a}=\Bigg|\begin{matrix}\overrightarrow{i}&\overrightarrow{j}&\overrightarrow{k}\\0 & 1 &3\\1 & 0 & 3 \end{matrix}\Bigg| = 3\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}- \overrightarrow{k}$$ Значит, уравнение нормальной плоскости есть $%3(x - 1)+3(y - 1) - (z-3)=0$%, а уравнение касательной прямой - $%{x-1\over 3}={y-1\over 3}={z-3\over -1}.$% отвечен 26 Ноя '12 16:49 
DocentI |
Спасибо всем.