Вот не знаю, как решить вот этот предел: $$\lim _ { x->0 } \frac{e^{sin2x}-e^{sinx}}{tgx}$$

задан 25 Ноя '12 18:41

изменен 25 Ноя '12 23:22

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}- e^{sinx}}{tgx} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}- e^{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}( e^{x}-1)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}e^{x}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\cdot 1=1.$$

Использовались эквивалентные бесконечно малые.$$sinx\sim x\sim tgx.$$

Вот еще одно решение (для категоричного доцента): $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}- e^{sinx}}{tgx} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}-1+1- e^{sinx}}{sinx}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}-1}{sinx}-\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sinx}-1}{sinx}=2-1=1.$$

ссылка

отвечен 25 Ноя '12 19:47

изменен 26 Ноя '12 0:01

@Anatoliy, Вы опять заменяете на эквивалентные в сумме, да еще внутри функции (экспоненты)? Тогда хотя бы используйте о-малое!

Человек использует Ваше решение на контрольной и получит плохой балл!

(25 Ноя '12 22:32) DocentI

Ну, если будет сдавать такому доценту как и Вы. То решение, которое Вы предложили, я изначально видел, но предложил это. Считаю его верным. Необоснованная категоричность с Вашей стороны - неприятная вещь.

(25 Ноя '12 23:21) Anatoliy

Ну почему же необоснованная! Есть доказательство того, что сомножители можно заменять на эквивалентные. Но нет доказательства, что можно менять слагаемые. И уж тем более нет доказательства того, что при $%f\sim g$% и $%h(f) \sim h(g)$%. Всякий доцент-математик будет требовать от студентов логически обоснованных преобразований.
А чтобы обосновать Ваши преобразования, надо использовать формулу Тейлора и подсчитать порядок остатка. Что гораздо сложнее простой эквивалентности.
Кстати, в одном примере Вы уже делали неэквивалентные замены, так что ссылки на интуицию не работают.

(26 Ноя '12 2:25) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Более аккуратное рассуждение. $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{\sin 2x}- e^{\sin x}}{tg x} =\lim_{x\rightarrow0}e^{\sin x}\frac{e^{\sin 2x -\sin x}-1}{x}= $$ $$=e^{0}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin 2x - \sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin 2x }{x} - \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}= 2 - 1 = 1.$$ Здесь использованы эквивалентности $%e^x - 1 \sim x$% и $%\sin x \sim x$% при $%x \to 0$%.

ссылка

отвечен 25 Ноя '12 22:37

изменен 25 Ноя '12 22:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×566
×346

задан
25 Ноя '12 18:41

показан
1233 раза

обновлен
26 Ноя '12 2:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru