|
Вот не знаю, как решить вот этот предел: $$\lim _ { x->0 } \frac{e^{sin2x}-e^{sinx}}{tgx}$$ задан 25 Ноя '12 18:41 
Женя |
|
$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}- e^{sinx}}{tgx} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{2x}- e^{x}}{x}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}( e^{x}-1)}{x}=\lim_{x\rightarrow0}e^{x}\cdot\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\cdot 1=1.$$ Использовались эквивалентные бесконечно малые.$$sinx\sim x\sim tgx.$$ Вот еще одно решение (для категоричного доцента): $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}- e^{sinx}}{tgx} =\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}-1+1- e^{sinx}}{sinx}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sin2x}-1}{sinx}-\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{sinx}-1}{sinx}=2-1=1.$$ отвечен 25 Ноя '12 19:47 
Anatoliy @Anatoliy, Вы опять заменяете на эквивалентные в сумме, да еще внутри функции (экспоненты)? Тогда хотя бы используйте о-малое! Человек использует Ваше решение на контрольной и получит плохой балл!
(25 Ноя '12 22:32)
DocentI
Ну, если будет сдавать такому доценту как и Вы. То решение, которое Вы предложили, я изначально видел, но предложил это. Считаю его верным. Необоснованная категоричность с Вашей стороны - неприятная вещь.
(25 Ноя '12 23:21)
Anatoliy
Ну почему же необоснованная! Есть доказательство того, что сомножители можно заменять на эквивалентные. Но нет доказательства, что можно менять слагаемые. И уж тем более нет доказательства того, что при $%f\sim g$% и $%h(f) \sim h(g)$%. Всякий доцент-математик будет требовать от студентов логически обоснованных преобразований.
(26 Ноя '12 2:25)
DocentI
|
|
Более аккуратное рассуждение. $$\lim_{x\rightarrow0}\frac{e^{\sin 2x}- e^{\sin x}}{tg x} =\lim_{x\rightarrow0}e^{\sin x}\frac{e^{\sin 2x -\sin x}-1}{x}= $$ $$=e^{0}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin 2x - \sin x}{x} = \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin 2x }{x} - \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}= 2 - 1 = 1.$$ Здесь использованы эквивалентности $%e^x - 1 \sim x$% и $%\sin x \sim x$% при $%x \to 0$%. отвечен 25 Ноя '12 22:37 
DocentI |