Найти все a, для которых отрезок [1;2] будет решением неравенства √(7+3x-x^2) ≥ |x-a|

задан 6 Авг '16 22:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обе части неравенства неотрицательны. Поэтому оно равносильно неравенству, обе части которого возведены в квадрат: $%7+3x-x^2\ge x^2-2ax+a^2$%, то есть $%2x^2-(2a+3)x+a^2-7\le0$%. Отрезок $%x\in[1;2]$% будет множеством решений тогда и только тогда, когда его концы являются корнями квадратного уравнения. Теорема Виета даёт $%\frac{2a+3}2=3$%, $%\frac{a^2-7}2=2$%, и одновременно эти условия выполнены быть не могут.

Если же условие понимать так, что все числа данного отрезка являются решениями неравенства (что, видимо, и имелось в виду, но было неаккуратно сформулировано -- сам отрезок не является "решением"), то должны выполняться неравенства $%x_1\le1 < 2\le x_2$%, где $%x_1$%, $%x_2$% -- корни квадратного трёхчлена. Это значит, что $%\frac{2a+3-\sqrt{D}}4\le1$% и $%2\le\frac{2a+3+\sqrt{D}}4$%, то есть $%\sqrt{D}\ge2a-1$%, $%\sqrt{D}\ge5-2a$%, где $%D=-4a^2+12a+65$%.

Решить данную систему можно графически. Рассматривая уравнения $%D=(2a-1)^2$%, $%D=(5-2a)^2$% вместо неравенств и находя их корни (они все "хорошие"), из графиков далее видим, что $%a\in[-1;4]$%, что и будет ответом.

ссылка

отвечен 7 Авг '16 13:08

@falcao, а графически как-нибудь можно?

(7 Авг '16 13:28) chelkasty

@chelkasty: можно с самого начала графически. Рисуете график квадратного корня на отрезке [1;2]. Это дуга окружности. Далее рассматриваете семейство графиков с модулем. Вершина там лежит на оси Ox. Если её передвигать, то график сдвигается, и надо следить на тем, чтобы он нигде не был выше кривой. Там получится два "критических" положения, которые отслеживаются через уравнения (фактически, те же, что в тексте решения).

(7 Авг '16 13:45) falcao

@falcao, спасибо, понял. А вот в вашем первом способе как получается, что a от -1 до 4?

(7 Авг '16 13:50) chelkasty

@chelkasty: через корни двух квадратных уравнений с участием дискриминанта.

(7 Авг '16 14:35) falcao

@falcao, всё, спасибо, тупанул)

(7 Авг '16 14:56) chelkasty
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,997
×359
×35

задан
6 Авг '16 22:37

показан
213 раз

обновлен
7 Авг '16 14:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru