Исследовать функциональную последовательность $%f_n(x)$% на равномерную сходимость на множестве $%E$%.

1)$%f_n(x)=e^{-x^2-nx}, \ E_1=(0,1), \ E_2=(1, +\infty)$%

$%lim_{n\rightarrow\infty}(e^{-x^2-nx})=0$%

$%(e^{-x(x+n)})'=(e^{-x(x+n)})(-2x-n)=(e^{-x(x+n)})-(2x+n)$%

На множестве $%E_1$%: помогите пожалуйста я знаю что подобное задание уже было но там был квадрат а тут не пойму как делать


2)$%f_n(x)=n^{3/2}(1-cos\frac{\sqrt[4]{x}}{n}), \ E=[0,+\infty)$%

$%lim_{n\rightarrow\infty}(n^{3/2}(1-cos\frac{\sqrt[4]{x}}{n}))=0$%

$%n^{3/2}(1-cos\frac{\sqrt[4]{x}}{n})< n^{3/2}\frac{\sqrt[2]{x}}{2n^2}<\frac{\sqrt[2]{x}}{2\sqrt{n}}\rightarrow 0$% подскажите пожалуйста так ли это будет? можно здесь применить


3)$%f_n(x)=\sqrt[n]{x^2+nx+1}, \ E_1=(0,1), E_2=(1,+\infty)$%

$%lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{x^2+nx+1})=1$%

$%\sqrt[n]{x^2+nx+1}-1=$% помогите пожалуйста

задан 31 Авг '16 23:35

изменен 31 Авг '16 23:53

10|600 символов нужно символов осталось
0

Во всех примерах этого типа нужно найти предел, потом рассмотреть модуль разности. Затем, при фиксированном $%n$%, придавая $%x$% разные значения из множества, надо смотреть на максимум. Если он "мал", то есть стремится к нулю с увеличением $%n$%, то сходимость равномерная.

1) Производную было находить не обязательно, потому что и так ясно, что величина $%x^2+nx$% возрастает, а $%e^{-n^2-nx}$% убывает. И производная всюду отрицательна, как это видно из формулы (правда, там у Вас в конце ошибка, потому что знак "минус" просто выносится, а не превращается в разность). Наибольшее значение будет при наименьшем $%x$%.

На $%E_1$% устремляем $%x$% к нулю. Функция при этом стремится к 1, и равномерной сходимости нет. На $%E_2$% будет верна оценка сверху $%e^{-n}$%, что стремится к нулю.

Этот пример несколько отличается от того, где было $%-(x-n)^2$% в показателе.

2) Здесь из неравенств, приведённых в конце, следует, что при всяком $%x$% предел равен нулю. Только первое неравенство будет нестрогим, а вместо второго должно быть равенство. Равномерной сходимости здесь не будет, потому что при любом $%n$% можно взять такое $%x$%, при котором косинус обратится в ноль, а именно, $%\frac{\sqrt[4]x}n=\frac{\pi}2$%. Тогда мы получим $%n^{3/2}$%, что не стремится к нулю.

3) Сразу видно, что на $%E_2$% равномерной сходимости нет, так как при стремлении $%x$% к бесконечности, разность тоже будет стремиться к бесконечности.

На $%E_1$% наибольшее значение разности будет достигаться (в пределе) при $%x=1$%. Иными словами, оценка будет иметь вид $%\sqrt[n]{2+n}-1$%. Эта величина стремится к нулю, так как предел корня равен 1.

ссылка

отвечен 1 Сен '16 1:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,817

задан
31 Авг '16 23:35

показан
319 раз

обновлен
1 Сен '16 1:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru