алгебра - Как найти предел последовательности?

$% 0 < x_{n}=\sqrt{2\sqrt{2...\sqrt{2}}}<\sqrt{2\sqrt{2...\sqrt{4}}}=2, n\in N, $% Значит последовательность ограничена сверху.

Очевидно,что $%x_n=\sqrt{2x_{n-1}} \Rightarrow \frac{x_n}{x_{n-1}}=\sqrt{\frac{2}{x_{n-1}}}>1\Rightarrow {x_n}>{x_{n-1}}, n\in N,n\ne1 $% . И так последовательность монотонна и ограничена, значит сходится. Обозначим $% \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}=a,$% имеем $% \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}=\sqrt{2 \lim_{n \rightarrow \infty}x_{n-1}}\Leftrightarrow a=\sqrt{2a}\Leftrightarrow a=0; a=2.$%

$% 0$% не удовлетворяет, потому что $% x_n$% возрастает. И так $% \lim_{n \rightarrow \infty } x_{n}=2.$%