Пусть натуральное число $%A=\overline{a_1a_2...a_{n-1}a_n}$%. Рассмотрим функцию $%f(A)=\overline{a_na_{n-1}...a_2a_1}$%. Например, $%f(123)=321, f(100)=1$%. Решить уравнение: $$f(n)=\left\lfloor \frac n2\right\rfloor$$ где $%n -$% натуральное число.

задан 8 Сен '16 16:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если $%A$% есть четное натуральное число, то исходное уравнение можно переписать как: $$f(A) = 2A,$$ если $%A$% есть нечетное натурально число, то так: $$f(A) = 2A+1.$$

Я не смог придумать ничего лучше, кроме как рассмотреть эти случаи отдельно.

Если $%A = \overline{a_n\dots a_0}$% --- десятичная запись $%n+1$% значного натурального числа, то положим $%F(A) = a_n = a$%, $%L(A) = a_0 = b$%. Понятно, что можно считать, что $%b\ne0$% (если $%b=0$%, то несложно видеть, что в этом случае $%A=0$% --- решение).

Пусть $%b$% четно, тогда:

$$\overline{b\dots a} = 2\cdot \overline{a\dots b}.$$

Из этого следует, что $%b>a$%, $%a=2b \pmod{10}$% и $%F(\overline{b\dots a}) = F(2\cdot \overline{a\dots b})$%.

Будем рассматривать различные случаи.

1) $%a=2$%, тогда из $%a=2b \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=0\pmod{2}$% следует, что $%b=6$%. Но если $%a=2$%, то $%F(2A) = 4,5\ne b=6$%.

2) $%a=4$%, тогда из $%a=2b \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=0\pmod{2}$% следует, что таковых $%b$% нет.

3) $%a=6$%, тогда из $%a=2b \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=0\pmod{2}$% следует, что $%b=8$%. Но если $%a=6$%, то $%F(2A) = 1\ne b=8$%.

4) $%a=8$%, тогда из $%a=2b \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=0\pmod{2}$% следует, что таковых $%b$% нет.

Пусть $%b$% нечетно, тогда:

$$\overline{b\dots a} = 2\cdot \overline{a\dots b}+1.$$

Из этого следует, что $%b>a$%, $%a=2b+1 \pmod{10}$% и $%F(\overline{b\dots a}) = F(2\cdot \overline{a\dots b}+1)$%.

Будем рассматривать различные случаи.

1) $%a=1$%, тогда из $%a=2b+1 \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=1\pmod{2}$% следует, что $%b=5$%. Но если $%a=1$%, то $%F(2A+1) = 2,3\ne b=5$%.

2) $%a=3$%, тогда из $%a=2b+1 \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=1\pmod{2}$% следует, что таковых $%b$% нет.

3) $%a=5$%, тогда из $%a=2b+1 \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=1\pmod{2}$% следует, что $%b=7$%. Но если $%a=5$%, то $%F(2A+1) = 1\ne b=7$%.

4) $%a=7$%, тогда из $%a=2b+1 \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=1\pmod{2}$% следует, что таковых $%b$% нет.

5) $%a=9$%, тогда из $%a=2b+1 \pmod{10}$% и $%b>a$% и $%b=1\pmod{2}$% следует, что таковых $%b$% нет.

ссылка

отвечен 8 Сен '16 20:43

изменен 8 Сен '16 20:55

@Sunbro: почему у Вас после применения функции число удваивается? Оно ведь должно вдвое уменьшаться. Хотя одно другому, наверное, эквивалентно, с учётом того, что число не будет оканчиваться нулём.

(8 Сен '16 23:13) falcao

@falcao Функция из условия нильпотентна в том смысле, что $%f(f(n)) = n$% (только надо считать, например, 01 и 001 различными числами; этот спорный момент несущественне для данной задачи, т.к. можно считать, то на ноль оно не заканчивается), поэтому к левой и правой частям исходного равенства можно применить $%f$% и получить $%f\left ( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor \right ) = n$%.

(8 Сен '16 23:20) Sunbro

@Sunbro: я так и понял, просто не понял смысла в такой замене. Если делать всё как есть, рассматривая уравнения f(2A)=A и f(2A+1)=A, то аргументация та же самая.

По идее, условие было бы интереснее, если бы какое-нибудь решение имелось.

(8 Сен '16 23:52) falcao

@falcao Если рассматривать уравнение $%f(n)=\frac{3}{2}n$%, то, вроде, будет бесконечно много решений. Можно спросить для каких констант существует конечное число решений, но мне не хочется над этим думать.

(9 Сен '16 18:17) Sunbro
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×36

задан
8 Сен '16 16:18

показан
575 раз

обновлен
9 Сен '16 18:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru