|
Существует ли между числами 510 и 740 такие 4 целых числа, чтобы они составляли геометрическую прогрессию? Существует ли 5 таких чисел? задан 2 Дек '12 16:04 
wladimir |
|
Пусть $% 510< b< bq< bq^2< bq^3<740,$%, где $% b,bq,bq^2,bq^3\in N.$% Тогда $%q$% рациональное число. Допустим $%q=\frac{m}{n}>1, $% где $%m,n\in N, m>n $% и НОД$%(m,n)=1.$% Тогда $%b\cdot\frac{m^3}{n^3}\in N\Rightarrow b=n^3\cdot k,k\in N.$% Имеем $% 510< kn^3< kn^2m< knm^2< km^3<740,$% $%(k,m,n\in N)$% Легко проверить, что $%k=1;n=8;m=9$% удовлетворяют. Получается прогрессия $%512;576;648;729.$% Значит такие 4 числа существуют. Аналогичними рассуждениями для 5 чисел, получаем $$ 510 < kn^4 < kn^3m < kn^2m^2 < knm^3 < km^4 <740 . $$ $%(n;m)$% надо искать среди чисел от 1 до 5. Легко проверить, что нет таких натуральных чисел. отвечен 2 Дек '12 22:35 
ASailyan |
|
510- первый член геом. прогрессии, еще четыре пропущены, 740 - шестой член прогресии. Следовательно $$740=510*q^5$$, откуда q - иррациональное число, следовательно, нет. Во втором случае ответ тот же. отвечен 2 Дек '12 16:32 
Lyudmyla 1
Надо передположить,что числа 510 и 740 не являются членамы этой прогрессии.
(2 Дек '12 17:00)
ASailyan
Совершенно верно, 510 и 740 - явно не члены прогрессии. Можно подобрать 8 в кубе = 512, знаменатель 9/8, получим 4 целых числа - членов прогрессии. Но разве это решение? wladimir
(2 Дек '12 17:10)
wladimir
Для первой части задачи-это решение. Достаточно найти подходящих чисел.
(2 Дек '12 22:36)
ASailyan
|
Вообще-то ответ найден методом подбора: 4 - да, 5 -нет, но мне самому это не нравится. wladimir
Методом подбора вполне можно решать задачу о существовании математического объекта. Например, геометрической прогрессии из 4 членов, которую Вы привели. Другое дело - доказательство несуществования. Но целочисленные задачи особенные, там часто без перебора не обойтись!