|
Даны две функции: $%e^{x+2y}-cos{3x}$% и $%(4+8x)^{1/2}-2e^y$%. Нужно выделить линейную часть. Ответ следующий: для первой функции - $%x+2y+O(x^2+y^2)$%; для второй - $%2x-2y+O(x^2+y^2)$%. Как мне это получить? И что значит "O" в данных ответах? задан 15 Янв '12 21:43 
rus |
|
$$f=e^{x+2y}-cos3x$$ Линейная часть - это дифференциал в точке $%(x_0;y_0)$% Примем $%(x_0;y_0)=(0;0)$%Это значит, линеаризуем функцию в окрестности этой точки. Формула дифференциала $$df=\frac {\partial f}{\partial x}\Delta {x}+\frac {\partial f}{\partial y}\Delta {y}$$ , где $% \Delta {x}=x-x_0=x; \Delta {y}=y-y_0=x$% Осталось найти частные производные $% \frac {\partial f}{\partial x}=e^{x+2y}+3sin3x ;$% $% \frac {\partial f}{\partial y}=2e^{x+2y}$% Подставим $%x=0; y=0 $% Значения частных производных $% \frac {\partial f}{\partial x}=1 ;$% $% \frac {\partial f}{\partial y}=2$% Дифференциал в точке $%(0;0)$% равен $$df=\Delta {x}+2\Delta {y}=x+2y$$Это линейная часть.По определению дифференциала разность $$f-df=O((\Delta {x})^2+(\Delta {y})^2)=O(x^2+y^2)$$. Удачи отвечен 15 Янв '12 21:56 
ValeryB |
@rus Добавляйте $% в начале и конце формул, чтобы они отрисовывались.