0
1

Доказать, что для любого $%k\in \mathbb{Z}\setminus 0$% существует единственный гомоморфизм $%(\mathbb{Z}/4k\mathbb{Z})^\ast \rightarrow \{\pm 1\}$%, т.ч. $%\bar{p}\mapsto\left(\frac{k}{p}\right)$% для каждого простого $%p$% не делящего $%k$%.

И какой вообще смысл/мораль у этой задачи?

задан 19 Сен '16 14:49

изменен 19 Сен '16 15:28

А что такое n, и как оно связано с k?

Я пока не вдумывался в условие, но мне кажется, что это абстрактная зашифровка какого-то известного теоретико-числового факта.

(19 Сен '16 15:05) falcao

@falcao: думал об одном, писал другое. n=k.

Насчет зашифровки, мне тоже так кажется, отсюда и вопрос в конце.

(19 Сен '16 15:29) numerist
10|600 символов нужно символов осталось
2

В формулировке есть неточность: лучше говорить про $%p$%, не делящее $%4k$%. В противном случае может возникнуть символ Лежандра со знаменателем 2, что смысла не имеет.

Единственность гомоморфизма очевидна, и она следует из возможности разложения натурального числа на простые множители. Представителем любого класса вычетов является некоторое натуральное число, и тогда его образ при гомоморфизме определяется однозначно по формуле из условия.

Для доказательства существования гомоморфизма проще всего его построить явно, проверяя, что он удовлетворяет условию. Рассмотрим полугруппу $%S$%, состоящую из всех целых чисел, взаимно простых с $%4k$%. Для каждого $%m\in S$% (заведомо нечётного числа) положим $%\phi(m)=(-1)^{(m-1)/2}(\frac{m}k)$%, где $%(\frac{m}k)$% -- символ Якоби. Понятно, что $%\phi(S)\subseteq\{\pm1\}$%; проверим, что данная формула задаёт гомоморфизм полугрупп.

Прежде всего, мы знаем, что $%(\frac{m_1m_2}k)=(\frac{m_1}k)(\frac{m_2}k)$% для любых $%m_1,m_2\in S$% по свойству мультипликативности символов Якоби. Далее, число $%(m_1-1)(m_2-1)$% делится на 4, откуда следует, что числа $%\frac{m_1m_2-1}2$% и $%\frac{m_1-1}2+\frac{m_2-1}2$% сравнимы по модулю 2. Из этого вытекает, что $%\phi(m_1m_2)=\phi(m_1)\phi(m_2)$%, так как $%(-1)^{\frac{m_1m_2-1}2}=(-1)^{\frac{m_1-1}2}(-1)^{\frac{m_2-1}2}$%.

Если два числа из $%S$% сравнимы по модулю $%4k$%, то их образы относительно $%\phi$% совпадают, что следует из свойств символов Якоби, а также из сохранения чётности показателя $%\frac{m-1}2$% при замене $%m$% на число, сравнимое с ним по модулю 4. Тем самым, $%\phi$% индуцирует гомоморфизм (полу)группы $%(\mathbb Z/4k\mathbb Z)^{\ast}$% в $%\{\pm1\}$%.

В случае, если $%k$% сравнимо с 3 по модулю 4, закон взаимности для символов Якоби даёт $%\phi(p)=(-1)^{(p-1)/2}(\frac{p}k)=(\frac{k}p)$% для любого простого $%p\in S$%. Тем самым, построенный нами выше гомоморфизм подходит. Если же $%k$% сравнимо с 1 по модулю 4, то это более простой случай, и здесь в качестве $%\phi$% достаточно было бы взять $%\phi(m)=(\frac{m}k)=(\frac{k}m)$% в силу того же закона взаимности.

Добавление. Предыдущее рассуждение охватывает случай нечётного $%k$%. Его можно распространить и на общий случай следующим образом. Выделим в разложении числа $%k$% максимальную степень двойки. Тогда в разложении символа Лежандра $%(\frac{k}p)$% добавится несколько символов вида $%(\frac2p)$%. Парные вхождения сокращаются за счёт того, что $%(\pm1)^2=1$%. Поэтому достаточно брать случай $%k=2l$%, где $%l$% нечётно.

Здесь по сравнению с предыдущим, при построении гомоморфизма $%\phi$% появится дополнительный символ Якоби $%(\frac2m)$%. Но он также обладает свойством мультипликативности, что легко проверяется. Действительно, нечётные числа относятся к одному из двух типов: $%8k\pm1$% и $%8k\pm3$%. Для первых из них символ Якоби равен $%1$%, для вторых $%-1$%. При перемножении чисел первого и второго типа происходит тот же эффект, то есть $%(\pm1)(\pm1)=\pm1$%, $%(\pm3)(\pm3)=\pm1$%, $%(\pm1)(\pm3)=\pm3$% по модулю 8. Отсюда следует гомоморфность отображения.

Фактически, условие задачи есть некоторое абстрактное перетолкование свойств символов Якоби.

ссылка

отвечен 19 Сен '16 16:12

изменен 19 Сен '16 17:42

@falcao: спасибо, понял. Теперь по добавлению. Про разложение символа Лежандра понятно. про k=2l не понятно. Почему так можно брать?

И что значит "появляется дополнительный символ ..."? Определение для четных k будет будет phi(m)=(-1)^{...}(m/k)(2/m)? А для нечетных прежнее?

И почему в случае нечетных Вы все-таки рассматривали модуль 4?

(19 Сен '16 19:53) numerist
1

@numerist: рассмотрение случая k=2L означает, что он основной. Там существенно то, что рассмотрение (2/m) даёт гомоморфизм. Если, скажем, k=4L, то в разложении появятся два символа Лежандра (2/p)(2/p), и они сократятся при перемножении. Я про это сказал в тексте.

В определении phi появится дополнительный символ Лежандра, если k делится на нечётную степень двойки (максимальную).

Суть последнего вопроса я не понял. Там про модуль 4 идёт речь при рассмотрении показателей степеней у -1. Поскольку там деление пополам, то чётность показателя зависит только от этого. То же для закона взаимности.

(19 Сен '16 20:22) falcao

Ох, честно говоря, после "добавления" процент понимания происходящего упал раза в два. Даже не знаю, как вопросы формулировать...

(19 Сен '16 23:54) numerist
1

@numerist: посмотрите "Курс арифметики" Серра. Это хорошая книга, написанная ясно и продуманно. Там есть параграф про символы Якоби, и в нём введено несколько полезных гомоморфизмов того типа, которые близки к рассматриваемому здесь. Я написал уже достаточно много, и по содержанию всё сказал. Расписывать же все детали на "школярском" уровне у меня большого желания нет.

(20 Сен '16 0:27) falcao

Стоп, но если k=3 mod 4, то phi(p)=-(k/p). А по условию требуется phi(p)=+(k/p).

И можно для всех k (вне зависимости от четности) указать 1 формулу?

(26 Сен '16 17:37) numerist

@numerist: если k=3(mod 4), то знак "перевёрнутого" символа Якоби зависит от свойства p. Если и оно тоже даёт в остатке 3, то появляется "минус". Это отражено в виде множителя (-1)^{(p-1)/2}, то есть там всё правильно.

Единую формулу написать можно, но она в таком виде бесполезна. Итоговый-то вид всё равно будет (k/p). А промежуточно это всё лучше словами описывать. Скажем, (2/p) будет в степени 0 или 1 в зависимости от того, на какую степень двойки делится k. Вычленять этот показатель через формулы весьма неудобно.

(26 Сен '16 19:54) falcao

А как тогда применяется закон взаимности? Почему (-1)^{(p-1)/2}(p/k)=(k/p)? Закон в данном случае выглядит (-1)^{(p-1/2)*(1+2r)}(p/k)=(k/p), где я заменил k на 4r+3. Тогда в показателе у -1 будет нечетное число делиться на 2..

(27 Сен '16 11:47) numerist

@numerist: формулировка закона взаимности есть в книгах. Её можно там прочитать, осмыслить, и т.д. Доказательство закона нетривиальное, но формулировка очень простая и легко запоминающаяся.

То, что Вы сейчас спросили, к сожалению, вопрос совсем уж низкоуровневый. Возьмите Ваше равенство из второй строки. Там -1 возводится в степень, равную произведению двух чисел. Возведите сначала -1 в нечётную степень 1+2r. Получится -1. Останется возвести в степень (p-1)/2. А это и будет то, что у меня написано. Замечу только, что p-1 везде должно быть заключено в скобки.

Здесь уже нечего обсуждать.

(27 Сен '16 13:03) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,212
×875
×801

задан
19 Сен '16 14:49

показан
604 раза

обновлен
27 Сен '16 13:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru