Как известно, доказывать отсутствие какого-либо признака обычно труднее, чем наличие. Например, исследуем интеграл $%\int_0^{+\infty}\sqrt{\alpha}e^{-\alpha x^2}dx$% на равномерную сходимость на множестве $%0\le \alpha <+\infty$%.

Легко показать, что этот интеграл как функция $%F(\alpha)$% имеет разрыв в точке 0. Из этого сразу следует, что сходимость неравномерная.
Но можно ли доказать это по-другому, не используя свойства функции $%F$%? Я имею в виду достаточно короткое доказательство, которое можно было бы предъявить студентам?

задан 3 Дек '12 2:08

изменен 3 Дек '12 10:31

10|600 символов нужно символов осталось
2

Допустим $% f:[a,\omega) \times Y\rightarrow R $% такая функция что $$ I(y)= \int_ {a} ^{ \omega}f(x,y)d x $$ сходится на $%Y$%.
Если $% \exists \varepsilon_{0}>0$% и $%a_{k},b_{k}\rightarrow \omega ,y_{k}\in Y $% такие что
$$\mid \int_ {a_{k}}^{b_{k}}f(x,y_{k})d x \mid >\varepsilon _{0} $$ то интеграл равномерно не сходится (где $%\omega$% - особенность).
В нашем случае

$$ a_{k}=k, b_{k}=2k ,y_{k}=\alpha_{k}=1/k^2, \omega= +\infty ,$$ $$\int_ {k} ^{ 2k} \sqrt{1/k^2} *e^{-x^2/k^2 } d x>1/e $$ модуля нет т.к положительный

ссылка

отвечен 4 Дек '12 18:44

изменен 4 Дек '12 21:45

DocentI's gravatar image


9.8k1040

Т.е. по критерию Коши. Можно, неплохо.

(4 Дек '12 21:46) DocentI

вот и ответ на ваш вопрос

(4 Дек '12 21:46) Riemann

это как обратное оприделение ,Т.е отрицание определения Коши

(4 Дек '12 21:49) Riemann

Странно, доказательство у Вас хорошее, а вот грамотность (в том числе математическая), несколько хромает. У Коши не "определение", а критерий, то есть необходимое и достаточное условие. Оно само себе обратно (потому что действует в обе стороны).
Надо писать "полОжительный" и "опрЕделение". Впрочем, может, русский Вам не родной язык?

(4 Дек '12 21:58) DocentI

может ....

(4 Дек '12 23:04) Riemann

Тогда поправки снимаются. Но решение хорошее.

(5 Дек '12 0:34) DocentI
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,119

задан
3 Дек '12 2:08

показан
1494 раза

обновлен
5 Дек '12 0:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru