Я пытаюсь доказать утверждение "если $%p$% простое целое, то оно или гауссово простое, или произведение гауссова простого на сопряженное к нему" таким путем

Поскольку $%p$% простое целое, то оно не обратимо в гауссовых числах, а значит делится на некоторое простое гауссово $%P$%, т.е. $%p=PQ$%, где $%Q$% гауссово целое. То же с $%\bar{p}$%, т.е. $%\bar{p}=p=\bar{P}\bar{Q}$%. Теперь $%p^2$% делится на $%P\bar{P}$% в гауссовых числах, т.е. $%p^2=P\bar{P}\times S$%, где $%S$% гауссово. Заметим, что $%S$% целое и равенство $%p^2=P\bar{P}\times S$% верно в кольце целых чисел.

задан 19 Сен '16 19:38

изменен 19 Сен '16 20:58

По-моему, этот текст показывает, что так рассуждать не следует. "Ключ" там вообще в другом. Надо отдельно рассматривать случаи p=4k+1 и p=4k+3 (для p=2 всё понятно). В первом случае получается, что p не простое гауссово за счёт того, что -1 есть квадрат по модулю p. Это соображение уже много раз звучало; что делать дальше -- понятно. Там получается сумма квадратов, вместе с единственностью. Числа второго вида будут простыми и в Z[i], так как они не представимы в виде суммы квадратов. Больше за всей этой "кухней" ничего нет.

(19 Сен '16 20:02) falcao

Ну почему же не следует. Вот продолжение. Итак, целое число $%P\bar{P}$% делит квадрат $%p^2$% простого целого. Тогда $%P\bar{P}$% либо равно $%p$%, либо равно $%p^2$%. Если выполнено первое, то теорема токазана доказана. Если выполнено второе, то $%p$% и $%P$% ассоциированы, и теорема тоже доказана. По-моему, получается даже короче.

(19 Сен '16 20:56) numerist

@numerist: я исходил из той характеристики, которую Вы сами дали тому, что у Вас было написано :) А более глубоко я даже не пытался вдумываться.

Действительно, из рассуждения следует, что простое число p в разложении на гауссовы простые имеет либо один такой множитель, или два. Но это более или менее очевидно. Интереснее здесь классификация -- когда бывает одно, и когда другое. При систематическом изучении данной темы, этого всё равно не миновать.

(19 Сен '16 21:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,867
×680

задан
19 Сен '16 19:38

показан
712 раз

обновлен
19 Сен '16 21:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru