На плоскости начертили 11 прямых. Какое максимальное количество замкнутых областей могло получиться?

Не имею понятия с чего начинать танец. В голове только уравнения прямых на плоскости и точки их пересечения. Очень прошу Вас помочь. Хотя бы задать правильное направление)

задан 3 Дек '12 15:57

изменен 3 Дек '12 15:58

Что Вы считаете "замкнутыми областями"? Вообще-то это термин топологии, но Вы, видимо, подразумеваете конечные области?

(3 Дек '12 19:27) DocentI

да. подразумеваются конечные области.

(4 Дек '12 9:55) madei
10|600 символов нужно символов осталось
2

Начать можно с 3 прямых: если их меньше, то никакой замкнутой области не получится. Всего будет 1 замкнутая (конечная) и 6 бесконечных областей. Добавляя одну прямую, мы пересечем все 3 прямых, так что добавится 4 новых границы (2 отрезка и 2 луча) и, соответственно, 4 новых области. Можно считать, что отрезки ограничивают именно конечные области (с одной стороны от себя), т.е. получим 3 конечных области и 8 бесконечны.
Дополнение Пусть уже построено k прямых. Проведем (k + 1)-ую. Она пересечет все k уже нарисованных прямых. Точками пересечения она разобьется на (k + 1) часть, причем две крайние из них будут бесконечными и будут делить две бесконечные области на бесконечные же части.
Каждый такой отрезок/луч делит соответствующую область на 2 части. Значит, максимально прибавляется (k + 1) частей. Лучи делят бесконечные области на два бесконечные части, значит, их добавится 2 штуки.

alt textОстальные отрезки будут конечными, поэтому они образуют с пересекаемыми прямыми треугольник. Тогда одна из новых частей обязательно будет конечной (лежит внутри этого треугольника). Возможны 2 случая: 1) из бесконечной области получаем конечную + бесконечную; 2) из конечной - две конечные. В любом случае число бесконечных областей не увеличивается, а конечных - прибавляется на одну. Значит, все (k - 1) отрезков дадут (k - 1) новых конечных областей.

Итак, всего будет $%1 + 3 + ... + (n - 2) = {(n-2)(n-1)\over 2}$% конечных областей и 2n бесконечных.

ссылка

отвечен 3 Дек '12 19:34

изменен 4 Дек '12 2:00

Спасибо большое. И особенно за столь развернутый ответ. Оказывается все просто.

(4 Дек '12 10:30) madei

Ну, не так уж просто! Я знаю этот прием из олимпиадных задач, и он всегда казался мне очень остроумным!

(4 Дек '12 21:47) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Если никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, то $%n$% прямые делят плоскость на $%1+\frac{n(n+1)}{2}$% частей.

ссылка

отвечен 3 Дек '12 18:37

Это число всех вообще областей, и конечных, и бесконечных.

(3 Дек '12 19:27) DocentI

Все эти области можно считать замкнутыми.

(3 Дек '12 19:30) ASailyan

Да, конечно, но думаю, автор просто неправильно выразился и имел в виду "конечные" области.

(3 Дек '12 19:35) DocentI

Спасибо за помощь)

(4 Дек '12 10:31) madei
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,395

задан
3 Дек '12 15:57

показан
2443 раза

обновлен
4 Дек '12 21:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru