высшая-математика - Прямые на плоскости

Начать можно с 3 прямых: если их меньше, то никакой замкнутой области не получится. Всего будет 1 замкнутая (конечная) и 6 бесконечных областей. Добавляя одну прямую, мы пересечем все 3 прямых, так что добавится 4 новых границы (2 отрезка и 2 луча) и, соответственно, 4 новых области. Можно считать, что отрезки ограничивают именно конечные области (с одной стороны от себя), т.е. получим 3 конечных области и 8 бесконечны.
Дополнение Пусть уже построено k прямых. Проведем (k + 1)-ую. Она пересечет все k уже нарисованных прямых. Точками пересечения она разобьется на (k + 1) часть, причем две крайние из них будут бесконечными и будут делить две бесконечные области на бесконечные же части.
Каждый такой отрезок/луч делит соответствующую область на 2 части. Значит, максимально прибавляется (k + 1) частей. Лучи делят бесконечные области на два бесконечные части, значит, их добавится 2 штуки.

Остальные отрезки будут конечными, поэтому они образуют с пересекаемыми прямыми треугольник. Тогда одна из новых частей обязательно будет конечной (лежит внутри этого треугольника). Возможны 2 случая: 1) из бесконечной области получаем конечную + бесконечную; 2) из конечной - две конечные. В любом случае число бесконечных областей не увеличивается, а конечных - прибавляется на одну. Значит, все (k - 1) отрезков дадут (k - 1) новых конечных областей.

Итак, всего будет $%1 + 3 + ... + (n - 2) = {(n-2)(n-1)\over 2}$% конечных областей и 2n бесконечных.