|
$$1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+...+\frac{1}{\sqrt{1000000}}$$ задан 3 Дек '12 18:54 
вуду |
|
Можно доказать,что 1) $%1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+...+\frac{1}{\sqrt n}<2\sqrt n-1, $% и 2)$%1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+...+\frac{1}{\sqrt n}>2(\sqrt {n+1}-1), (n\in N, n>1).$% Пусть $%s=1+\frac{1}{\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3}+...+\frac{1}{\sqrt{1000000}},$% тогда $% 2(\sqrt{1000001}-1)< S< 2\sqrt{1000000}-1 \Leftrightarrow 1998< S< 1999 \Leftrightarrow [s]=1998 $% отвечен 3 Дек '12 19:19 
ASailyan 1 и 2 по индукции, да ведь?
(3 Дек '12 19:36)
вуду
Можно и без индукции.
(3 Дек '12 19:39)
ASailyan
Если доказательства неравенств 1) и 2) не нашли, то задавайте на форуме. Поможем.И проверьте, есть число 1 в числе слагаемых или нет.От этого ответ будет на 1 меньше.
(3 Дек '12 20:22)
ASailyan
|
|
Рассмотрим функцию $%f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$%, тогда $%S_1=\sum_{i=1}^{999999}\frac{1}{\sqrt{i}}$% и $%S_2=\sum_{i=2}^{1000000}\frac{1}{\sqrt{i}}$% - интегральные суммы для функции $%f(x), S_1-S_2=1-\frac{1}{\sqrt{1000000}}<1 (1)$%. Далее $%S_2< \int_{1}^{1000000}{\frac{dx}{\sqrt{x}}}< S_1\Leftrightarrow S_2<1998< S_1 (2).$% Из $%(1)$% и $%2$% следует, что целая часть суммы $%S_2=\sum_{i=2}^{1000000}\frac{1}{\sqrt{i}}$% равна $%1997.$% отвечен 3 Дек '12 20:00 
Anatoliy я интегралы не знаю(
(3 Дек '12 20:16)
вуду
А метод математической индукции? Ведь приведенные неравенства нужно доказывать.
(3 Дек '12 20:31)
Anatoliy
|
Но, в условии не было слагаемого $%1$%!
Смотрите историю изменений.
Смотрел. Изначально было без слагаемого $%1$%.
Изменение сделал @ХэшКод.