Описать фактор-кольцо $$\mathbb{Z}\left [ \sqrt{11} \right ]\mid (3 + 5\sqrt{11})$$

задан 22 Сен '16 1:50

10|600 символов нужно символов осталось
2

Обозначим $%x=\sqrt{11}$%. При этом $%x^2=11$%, а в факторкольце будет выполнено равенство $%3+5x=0$%, откуда будет следовать, что $%9-25x^2=(3+5x)(3-5x)=0$%, то есть $%25\cdot11-9=266=0$%. Это значит, что в факторкольце всё должно рассматриваться по модулю 266.

В частности, окажется, что $%159+265x=0$% после домножения на 53, откуда $%x=159$% в факторкольце. Осталось теперь реализовать формально указанные выше соображения (их можно считать подготовкой к доказательству).

Итак, рассматриваем отображение кольца $%\mathbb Z[X]$% в кольцо вычетов $%\mathbb Z_{266}$% по модулю 266, осуществляемое по правилу $%a\mapsto\bar{a}$% для целых чисел, беря вычет по модулю 266, и $%X\mapsto\overline{159}$%. При этом $%X^2$% переходит в $%\overline{159^2}=\overline{25281}=\overline{11}$%. Следовательно, $%X^2-11$% принадлежит ядру, и тогда по теореме о гомоморфизмах получается индуцированный гомоморфизм факторкольца $%\mathbb Z[X]/(X^2-11)$% в то же кольцо вычетов. Нетрудно заметить, что факторкольцо $%\mathbb Z[X]/(X^2-11)$% изоморфно в точности кольцу $%\mathbb Z[\sqrt{11}]$%, которое и рассматривается в условии.

Осталось заметить, что элемент $%3+5X$% переходит в $%\overline{3+5\cdot159}=\overline{798}=\bar0$%, откуда ясно, что $%3+5\sqrt{11}$% лежит в ядре гомоморфизма из $%\mathbb Z[\sqrt{11}]$% в $%\mathbb Z_{266}$%. Далее, предположим, что элемент $%a+b\sqrt{11}$% рассматриваемого кольца принадлежит ядру. Это значит, что $%a+159b$% делится на $%266$%. Исходя из этого, нетрудно проверить, что при делении $%a+b\sqrt{11}$% на $%3+5\sqrt{11}$% (по стандартной схеме, с использованием домножения на сопряжённое), получается выражение с целыми коэффициентами, то есть элемент кольца $%\mathbb Z[\sqrt{11}]$%. Это значит, что элемент $%a+b\sqrt{11}$% принадлежит главному идеалу $%(3+5\sqrt{11})$%. То есть ядро гомоморфизма есть именно этот главный идеал.

Снова применяя теорему о гомоморфизмах, получаем, что факторкольцо по данному главному идеалу, то есть $%\mathbb Z[\sqrt{11}]/(3+5\sqrt{11})$%, изоморфно образу гомоморфизма, который совпадает с кольцом вычетов $%\mathbb Z_{266}$% ввиду того, что $%\bar1$% заведомо лежит в образе.

ссылка

отвечен 22 Сен '16 3:17

Не понятно, как в 3 абзаце применяется теорема о гомоморфизмах. Ну лежит x^2-11 в ядре. Теорема же говорит, что фактор по ядру изоморфен образу. Но тут (в 3 абзаце) не говорится ни про изоморфизм (только про другой), ни про "полное" ядро

Или тут другая теорема применяется? Какая?

(22 Сен '16 18:54) numerist

Тот факт, что Z[x]/(x^2-11) изоморфно Z[sqrt{11}}], можно рассматривать как простую вспомогательную лемму. Это упражнение более лёгкого уровня на применение теоремы. Многочлен f(x) делим с остатком на x^2-11. Если остаток равен a+bx, то переводим f(x) в a+b*sqrt{11}. Это гомоморфизм, и его ядро равно главному идеалу. Он сюръективен, откуда всё сразу следует.

Факт о существовании индуцированного гомоморфизма тривиален. Его можно проверить самостоятельно в качестве упражнения. "Теорема о гомоморфизмах" -- это некий "пароль" для ссылок. Обычно в учебниках есть оба утверждения.

(22 Сен '16 23:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×43

задан
22 Сен '16 1:50

показан
736 раз

обновлен
22 Сен '16 23:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru