|
Доказать, что $$lim_{n \to \infty}(1+1+\frac 1{2!} +\frac 1{3!}+...+\frac 1{n!})=e$$ $$(зная\ lim_{n \to \infty}(1+\frac1n)^n=e)$$ задан 26 Сен '16 20:42 
Jenya |
|
Обозначим последовательность, предел которой мы ищем за $%x_n$%. Она возрастает и ограничена сверху, значит имеет предел. Пусть он равен $%l$% $$ y_n = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = 1 + 1 + \frac{1 \cdot(1 - \frac{1}{n})}{2!} + ... + \frac{1 \cdot(1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{2}{n})... (1 - \frac{n-1}{n})}{n!} < x_n $$ Тогда $%e \leq l$%. С другой стороны, рассмотрим последовательность при $%n > m$% $$ y_{m, n} = 1 + 1 + \frac{1 \cdot(1 - \frac{1}{n})}{2!} + ... + \frac{1 \cdot(1 - \frac{1}{n}) \cdot (1 - \frac{2}{n})... (1 - \frac{m-1}{n})}{m!} < y_n $$ При $%n \to \infty$% левая часть стремится к $%x_m$%, а правая к $%e$%, значит $%x_m \leq e$%, тогда и $%l \leq e$%. Откуда и получаем требуемое отвечен 26 Сен '16 22:04 
no_exception Спасибо большое)
(26 Сен '16 23:06)
Jenya
|
|
$%(1+\frac1n)^n=1+1+C_n^2(\frac1n)^2+C_n^3(\frac1n)^3+\cdots+C_n^n(\frac1n)^n=$% $%=1+1+\frac1{2!}(1-\frac1n)+\frac1{3!}(1-\frac1n)(1-\frac2n)+\cdots+\frac1{n!}(1-\frac1n)(1-\frac2n)...(1-\frac{n-1}n)$% с использованием биномиального разложения. Далее мы можем зафиксировать несколько первых членов вплоть до $%\frac1{k!}(1-\frac1n)...(1-\frac{k-1}n)$%, и при фиксированном $%k$% устремить $%n$% к бесконечности. Тогда после перехода к пределу в неравенствах мы для каждого $%k$% получим, что $%e\ge1+1+\frac1{2!}+\cdots+\frac1{k!}$%. С другой стороны, при отбрасывании членов от $%(k+1)$%-го и выше, возникает ошибка, не превосходящая $%\frac1{(k+1)!}+\frac1{(k+2)!}+\cdots$%, что стремится к нулю при стремлении $%k$% к бесконечности. Это следует из довольно элементарных оценок, и соответствующие рассуждения я опускаю. Таким образом, для любого $%\varepsilon > 0$% можно выбрать такое $%k$%, для которого ошибка составит менее $%\frac{\varepsilon}2$%. Теперь зафиксируем такое $%k$%, и для каждого слагаемого вида $%\frac1{m!}(1-\frac1n)(1-\frac2n)...(1-\frac{m-1}n)$% при $%2\le m\le k$%, рассмотрим достаточно большое $%n$%, для которого разница между этим значением и его пределом, равным $%\frac1{m!}$%, составит менее $%\frac{\varepsilon}{2k}$%. Тогда окажется, что при достаточно больших $%n$%, зависящих от $%\varepsilon$%, разность между $%(1+\frac1n)^n$% и $%1+1+\frac1{2!}+\cdots+\frac1{k!}$% составит меньше $%\varepsilon$%. Из этого, с учётом сказанного выше, следует, что сумма ряда из величин, обратных факториалам, равна $%e$%. отвечен 26 Сен '16 23:13 
falcao 1
@falcao я много где встречал укороченную версию вашего доказательства. Уже в первом абзаце мы получили что для любого k выполняется неравенство $%e≥1+1+\dfrac{1}{2!}+⋯+\dfrac{1}{k!}$% Поэтому оно верно и при $%k->\infty$% поэтому оценки хвоста ряда (как у вас) можно даже не делать. Ну а обратное неравенство $%e\le1+1+\dfrac{1}{2!}+⋯+\dfrac{1}{k!}+...$% следует из расписывания бинома. Согласны ли вы с таким рассуждением: что из верности неравенства для любого k можно заключить, что оно верно и в пределе при $%k->\infty$%? без дополнительных замечаний и оценок?
(27 Сен '16 0:14)
abc
@abc: да, я согласен, что предлагаемый Вами план (с предельным переходом в неравенствах) лучше и короче.
(27 Сен '16 0:32)
falcao
@abc, мне кажется, мое рассуждение примерно и есть то, что говорите вы
(27 Сен '16 11:19)
no_exception
@no_exception: да, это так. Только в словесном виде идея гораздо лучше воспринимается. У Вас, кстати, опечаток там много -- хорошо бы их исправить. Например, y_n и y_{n,m} равны одному и тому же, и так далее.
(27 Сен '16 13:13)
falcao
@falcao, спасибо!
(29 Сен '16 19:38)
no_exception
|
Здесь надо подправить обозначения: к бесконечности везде стремится n.
Точно, не заметил.Спасибо!