|
Два прямоугольных треугольника ABC и ABD с целочисленными катетами, один из которых AB имеет одинаковую длину, cтоят на этом общем катете AB гипотенузами навстречу друг другу. Гипотенузы пересекаются в точке E. При каком условии AE и BE будут целочисленными? задан 4 Дек '12 19:49 
nikolaykruzh... |
|
В прочем, от изменения картинки метод решения ни чуточку не меняется. Треугольники AEF и ADB подобны, так же как и треугольники ABC и FBE. Из их подобия составляем и решаем пропорции: $$\frac{BF}{EF}=\frac{AB}{AC};\frac{AF}{EF}=\frac{AB}{BD};\frac{AE}{EF}=\frac{AD}{BD};\frac{BE}{EF}=\frac{BC}{AC}$$ $$\frac{AB}{EF}=\frac{BF+AF}{EF}=\frac{AB}{AC}+\frac{AB}{BD}$$ $$EF=\frac{1}{\frac{1}{AC}+\frac{1}{BD}}$$ $$AE=\frac{AC \cdot AD}{AC+BD};BE=\frac{BC \cdot BD}{AC+BD}$$ Следовательно, целочисленность отрезков AE и BE зависит от рациональности гипотенуз и от делимости $%AC \cdot AD$% и $%BC \cdot BD$% на $%AC+BD$%. отвечен 10 Дек '12 1:37 
chameleon В целочисленных задачах всегда так: "надо только проверить делимость"... А вот когда она наступает - в общем виде узнать трудно.
(10 Дек '12 1:48)
DocentI
Ну, я решил не продолжать решение. Врядли там будет что-то такое гениальное. В прочем, есть подозрение, что единственные случаи:
Но это подозрение вызвано интуицией и ничем пока не доказано.
(10 Дек '12 18:26)
chameleon
Надо взять треугольники AEF и BEF как целочисленные пифагоровы. Тогда AC и BD при некоторых условиях будут тоже целочисленными - т. е. надо решать обратную задачу
(10 Дек '12 20:38)
nikolaykruzh...
Это, конечно, интересная идея, только вот отрезки AF, BF и EF совсем не обязаны быть целочисленными.
(11 Дек '12 3:21)
chameleon
В задаче требуется, чтобы все перечисленные Вами отрезки были целочисленными. А если этим пренебречь, тогда: в чём состоит задача?
(11 Дек '12 19:40)
nikolaykruzh...
В задаче требуется, чтоб целочисленными были отрезки AE и BE. А про AF, BF и EF абсолютно ничего не сказано.
(13 Дек '12 2:07)
chameleon
Снимаю своё возражение. Но в таком случае, не вижу пути решения задачи, так же, как его не увидели и Вы. Выходит: задача не додумана, как и почти все, что вышли из-под моего пера
(14 Дек '12 20:32)
nikolaykruzh...
показано 5 из 7
показать еще 2
|
Что значит "один катет имеет одинаковую длину"? С чем одинаковую? Раз он один - и длина одна.
Треугольников - два, катетов - 4, один из двух катетов у обоих треугольников, ABC и ABD, имеет одну и ту же длину. Это AB.
Вот интересно как катет AB мог бы иметь разную длину!
Ну, не придирайтесь, ради Бога. Я написал: "одинаковую" - Вам это не понравилось, теперь дошли до "разной", но я же этого не писал! Вам не нравится нелогичность условия, так я всегда был нелогичен, но смысл-то Вы же поняли! "Предлагаю дружить домами"("Москва слезам не верит")