Пусть $%x_n\geq 0 $% и $%y_n\geq 0 \;\;(n=1,2,...)$% Доказать, что

$$ \underline{\lim_{n \to \infty}}x_n\cdot \underline{\lim_{n \to \infty}}y_n \leq \underline{\lim_{n \to \infty}}(x_n\cdot y_n) \leq \underline{\lim_{n \to \infty}}x_n\cdot \overline{\lim_{n \to \infty}}y_n $$ написал задачу в tex. Но на сайте он ее что то не отображает нормально( хотя при редактировании на этом же сайте все видно). Нужно доказать, что произведение нижних пределов последовательностей меньше или равно нижнему пределу произведения этих последовательностей и меньше или равно произведению нижнего предела одной последовательности и верхнего предела другой

задан 3 Окт '16 22:58

изменен 3 Окт '16 23:17

all_exist's gravatar image


41.0k212

написал задачу в tex. Но на сайте он ее что то не отображает нормально. Нужно доказать, что произведение нижних пределов последовательностей меньше или равно нижнему пределу произведения этих последовательностей и меньше или равно произведению нижнего предела одной последовательности и верхнего предела другой

(3 Окт '16 23:03) Jenya

Нижние пределы обеих последовательностей должны быть конечными иначе неравенства бессмысленны. Тогда по известной теореме предел произведения равен произведению пределов и первое неравенство является даже равенством. Или я ошибаюсь???

(4 Окт '16 0:11) abc
2

@abc, тут немного хитрее ... на "нижнюяя" подпоследовательность иксов может умножаться "верхнюю" подпоследовательность игреков...

Тут все рассуждения основаны на рассмотрении подпоследовательностей... и выборе подпоследовательностей уже из них...

(4 Окт '16 0:16) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Здесь можно воспользоваться таким определением нижнего и верхнего предела, которое вытекает из определений: нижний предел есть минимум всевозможных пределов сходящихся подпоследовательностей, а верхний предел -- это максимум. Если что-то при этом не достигается, то оно принимает бесконечное значение.

Рассмотрим первое неравенство. Оба нижних предела в левой части существуют. Пусть они равны $%x$% и $%y$% соответственно. Тогда для любого $%\varepsilon > 0$% неравенства $%x_n < x-\varepsilon$% и $%y_n < y-\varepsilon$% справедливы лишь для конечного множества значений $%n$%. В противном случае можно выбрать бесконечную подпоследовательность, имеющую предел, не превосходящий $%x-\varepsilon$% для первой последовательности, и он будет строго меньше $%x$%, что невозможно. Аналогично для $%y_n$%.

При $%x=0$% или $%y=0$% доказываемый факт очевиден. Поэтому считаем, что $%x > 0$%, $%y > 0$%. Теперь, фиксируя достаточно малое $%\varepsilon > 0$%, замечаем, что $%x_n\ge x-\varepsilon > 0$% и $%y_n\ge\varepsilon > 0$% для всех $%n$%, начиная с некоторого номера. Тогда нижний предел $%x_ny_n$% будет не меньше произведения $%(x-\varepsilon)(y-\varepsilon)$%. Устремляя $%\varepsilon$% к нулю (справа), приходим к выводу, что нижний предел не меньше $%xy$%, что и требовалось.

Для доказательства второго неравенства предположим, что последовательность $%y_n$% ограничена, то есть её верхний предел, равный $%Y$%, существует. Рассмотрим подпоследовательность $%x_{n_k}$%, которая при $%k\to\infty$% стремится к своему нижнему пределу $%x$%. Последовательность $%y_{n_k}$% также ограничена, поэтому у неё есть подпоследовательность, сходящаяся к некоторому числу $%y\le Y$%. Тогда подпоследовательность $%x_ny_n$%, взятая по этим номерам (подпоследовательность подпоследовательности), будет стремиться к $%xy\le xY$%. В частности, нижний предел не превзойдёт $%xY$%, что и требовалось.

ссылка

отвечен 4 Окт '16 0:29

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,206
×691
×294
×129

задан
3 Окт '16 22:58

показан
687 раз

обновлен
4 Окт '16 0:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru