Как исследовать функцию $%y=|sinx|-cosx$% на периодичность, найти основной период, если он существует?

задан 5 Дек '12 18:58

изменен 5 Дек '12 20:25

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Период функции $%T=2\pi$%. Если функция имеет меньший период $%T_0>0$%, то он должен быть кратен $%2\pi, T_0=\frac{2\pi}{n}, n\in N$%. Для любого $%x\in R$% должно выполняться равенство $$\|sin(x+\frac{2\pi}{n})\|-cos(x+\frac{2\pi}{n})=\|sin(x)\|-cos(x),$$ тогда при $%x=0$% будем иметь $$\|sin(\frac{2\pi}{n})\|-cos(\frac{2\pi}{n})=-1. $$Последнее равенство возможно лишь при $%n=1$%, наименьший период $%T=2\pi$%.

ссылка

отвечен 5 Дек '12 19:44

изменен 5 Дек '12 19:54

10|600 символов нужно символов осталось
2

$%D(y)=R $% . Так-как $$1) x\in R \Rightarrow x\pm 2\pi\in R$$ $$2) y(x+2\pi)=y(x), x\in R, $$ значит по определению $%2\pi$% период этой функции. Отсюда следует что все числа вида $%2\pi n, n\in Z, n\ne0$% периоды этой функции.

Докажем, что $%2\pi$% основной период этой функции.Пусть $%T\ne0$% произвольный период этой функции. Это означает, что $%|sin(x+T)|-cos(x+T)=|sinx|-cosx ,$%, при $% x\in R .$% Тогда при $%x=0$% и при $%x=\pi,$% получим $%\begin{cases}|sinT|=cosT-1\\|sinT|=1-cosT\end{cases} \Rightarrow cosT-1=1-cosT \Leftrightarrow cosT=1 \Leftrightarrow T=2\pi n (n\in Z) $%. Получилось что все периоды функции имеют вид $% T=2\pi n (n\in Z),$% а наименьшее положительное число среди этих чисел $%2\pi $%( при $%n=1).$% Значит основной период $%2\pi .$%

ссылка

отвечен 5 Дек '12 20:57

изменен 5 Дек '12 21:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×355

задан
5 Дек '12 18:58

показан
7717 раз

обновлен
5 Дек '12 21:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru