|
Как исследовать функцию $%y=|sinx|-cosx$% на периодичность, найти основной период, если он существует? задан 5 Дек '12 18:58 
Melissa |
|
Период функции $%T=2\pi$%. Если функция имеет меньший период $%T_0>0$%, то он должен быть кратен $%2\pi, T_0=\frac{2\pi}{n}, n\in N$%. Для любого $%x\in R$% должно выполняться равенство $$\|sin(x+\frac{2\pi}{n})\|-cos(x+\frac{2\pi}{n})=\|sin(x)\|-cos(x),$$ тогда при $%x=0$% будем иметь $$\|sin(\frac{2\pi}{n})\|-cos(\frac{2\pi}{n})=-1. $$Последнее равенство возможно лишь при $%n=1$%, наименьший период $%T=2\pi$%. отвечен 5 Дек '12 19:44 
Anatoliy |
|
$%D(y)=R $% . Так-как $$1) x\in R \Rightarrow x\pm 2\pi\in R$$ $$2) y(x+2\pi)=y(x), x\in R, $$ значит по определению $%2\pi$% период этой функции. Отсюда следует что все числа вида $%2\pi n, n\in Z, n\ne0$% периоды этой функции. Докажем, что $%2\pi$% основной период этой функции.Пусть $%T\ne0$% произвольный период этой функции. Это означает, что $%|sin(x+T)|-cos(x+T)=|sinx|-cosx ,$%, при $% x\in R .$% Тогда при $%x=0$% и при $%x=\pi,$% получим $%\begin{cases}|sinT|=cosT-1\\|sinT|=1-cosT\end{cases} \Rightarrow cosT-1=1-cosT \Leftrightarrow cosT=1 \Leftrightarrow T=2\pi n (n\in Z) $%. Получилось что все периоды функции имеют вид $% T=2\pi n (n\in Z),$% а наименьшее положительное число среди этих чисел $%2\pi $%( при $%n=1).$% Значит основной период $%2\pi .$% отвечен 5 Дек '12 20:57 
ASailyan |