|
Дана функция: $$e^x= \sum_{n=0}^{\infty} C_nP_n(x)$$ Найти значение от С0 до С2. $$sinx= \sum_{n=0}^{\infty} C_nP_n(x)$$ Найти значение от С0 до С5. К сожалению, как вставить фото сюда, не понял. ( В общем, как показало мое решение нужно было сделать вот так: $$\int_{-1}^{1}sinxP_m(x)dx=$$ $$\sum_{n=0}^{\infty }C_n\int_{-1}^{1}P_m(x)P_n(x)dx =$$ $$\sum_{n=0}^{\infty }C_n\frac{2}{2_n+1}\delta_n =$$ $$\frac{2C_m}{2_m+1}$$ Теперь наша искомая С будет выражаться как: $$C_m=\frac{2_m+1}{2}\int_{-1}^{1}sinxP_m(x)dx$$ Так как синус функция нечетная, то все решения будут нечетные, четные же будут равны 0. При этом для нахождения функции : $$P_n(x)$$ воспользуемся формулой Родрига: $$P_n(x)=\frac{1}{2^nn!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$$ тогда для наших $$C_1,C_3,C_5$$ они равны: $$P_1(x)=x$$ $$P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$$ $$P_5(x)=\frac{1}{8}(63x^5-70x^3+15x)$$ Что бы не усложнять себе задачу при нахождении $$C_n$$ лучше представить sinx как мнимую экспоненту. Хоть решение и было полностью понято и разобрано, экзамен я так и не сдал=))) При решении возникли проблемы с вычислением=)) особенно для нахождения $$C_5$$, дорешать мне не хватило времени=)) задан 16 Янв '12 10:38 
Александр Ма... |
|
Многочлены Лежандра тут Они берутся на каком-то отрезке [a,b] и являются взаимноортогональными относительно скалярного произведения $$(f,g)=\int_a^b {f(x)g(x)dx}$$ Поэтому с записью $$f=C_0L_0+C_1L_1+C_2L_2+...$$расправляемся просто/ Слева и справа множим скалярно на многочлены Лежандра. В итоге, $$C_n=\frac {(f,L_n)}{(L_n,L_n)}$$ Через интегралы это легко выражается. Кроме того,$${(L_n,L_n)}=\frac {b-a}{2n+1}$$ Например, для $$f=sinx ; a=-\pi/2;b=\pi/2$$ получим $$C_0=0;C_1=\frac {4}{\pi};C_2=0;C_3=168\frac{\pi^2-10}{\pi^4}$$/ Осталось указать сами многочлены Лежандра $$L_0=1;L_1=\frac {2} {\pi}x;L_2=\frac {6} {\pi^2}x^2-\frac {1}{2}$$ Они получаются из стандартных многочленов Лежандра $%L_n(u)$% на отрезке [-1;1] (которые можно списать с сайта или получить по рекуррентной формуле) подстановкой $$u=(x-(b+a)/2)/((b-a)/2) $$ Радуйтесь на здоровье! отвечен 16 Янв '12 13:00 
ValeryB ValeryB, из формулы: $$C_{n}=\frac{(f,L_{n})}{(L_n,L_n)}$$ Можете сказать от куда берется числитель? Извените за глупый вопрос=) знаменатель то понятно как посчитать, вы написали, но вот не понятно от куда взялся числитель и чему он равен...
(16 Янв '12 13:28)
Александр Ма...
Запись подправил $$f=C_0L_0+C_1L_1+C_2L_2+...$$ Домножаем слева и справа скалярно на множитель , получается много нулей из-за ортогональности многочленов $$(f,L_2)=C_0(L_0,L_2)+C_1(L_1,L_2)+C_2(L_2,L_2)+...$$ $$(f,L_2)=0+0)+C_2(L_2,L_2)+0...$$
(16 Янв '12 15:19)
ValeryB
|
Уважаемый участник, согласно правилам форума, форумы необходимо писать в LaTeX.
Буду рад решению даже одного, т.к второй аналогичный! Задача на экзамене, буду рад любому ответу