Подскажите, пожалуйста.

Функция $% f\colon \mathbb R^{n}\rightarrow \mathbb R $% называется выпуклой, если для любых точек $% a, b $% и произвольного $% t \in $% [0, 1] выполнено неравенство $% f((1 - t)a + tb) \le (1-t)f(a) + tf(b) $%.

Докажите, что

  1. гессиан гладкой (т.е. имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядка) выпуклой функции в любой точке неотрицателен.
  2. если гессиан гладкой функции в любой точке положительно определен, то функция выпукла.
  3. гладкая выпуклая функция имеет не более одной критической точки, и эта точка, если она существует, - точка глобального минимума.

задан 14 Окт '16 1:36

изменен 14 Окт '16 4:46

10|600 символов нужно символов осталось
1

Набросаю тут дровишек... а поленницу, надеюсь, сложите сами... (надеюсь сложится) ...

Думается мне, что все утверждения следуют из рассмотрения функций и производных по направлению... и соответствующих фактов для функций одной переменной (см., например, Фихтенгольц, Т.1, гл IV, п. 143, стр. 298-301)...

Пусть имеется гладкая функция $%f(x_1,\ldots,x_n)=f(M)$%... рассмотрим точку $%M_0$% и единичный вектор $%\bar{s}=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$%... построим функцию одной переменной $%g_s(z)=f(M_0+z\,\bar{s})$% ... такую функцию обычно рассматривают для получения формул производной по направлению в точке... но ничего не мешает рассматривать производные направлению вдоль всей прямой $%M=M_0+z\,\bar{s}$%... то есть справедливы равенства $$ g'_s(z)=\frac{\partial f(M)}{\partial\bar{s}} =\det\big(\nabla f(M)\cdot \bar{s}^T\big), \qquad g''_s(z)=\frac{\partial^2 f(M)}{\partial^2\bar{s}}=\det\big(\bar{s}\cdot H(M)\cdot \bar{s}^T\big), $$ где последние части равенств - это матричные операции, а $%H(M)$% - матрица Гессе...

А дальше говорим, что...

Утв. 1 Если гладкая функция $%f(M)$% выпукла, то для любого направления $%\bar{s}$% функция $%g_s(z)$% тоже выпукла... достаточно очевидно, поскольку неравенство рассматривается вдоль отрезка. то есть части прямой...

И наоборот...

Утв. 2 Если для любых $%M_0$% и $%\bar{s}$% функция $%g_s(z)$% выпукла, то $%f(M)$% тоже выпукла... тоже достаточно очевидно... рассматривая две точки $%a,b$% из определения, мы тем самым выделяем направление $%\bar{s}=\frac{b-a}{|b-a|}$% и получаем функцию $%g_s(z)$%, для которой неравенство верно...

№1 - гессиан гладкой (т.е. имеющей непрерывные частные производные первого и второго порядка) выпуклой функции в любой точке неотрицателен. - думается мне, что имеется ввиду неотрицательна определённость...
Из Утв.1 и Фихтенгольца следует, что $%\forall\;M_0,\; \bar{s}\;\Rightarrow\; g''_{s}(0)\ge 0$%, что собственно и есть определение неотрицательной определённости гессиана...

№2 - если гессиан гладкой функции в любой точке положительно определен, - то есть $%g''_{s}(0) > 0\;\forall\;M_0,\; \bar{s}$% ... ссылаемся на Утв. 2, что даёт вывод о том, то функция выпукла...

№3 -гладкая выпуклая функция имеет не более одной критической точки - от противного... пусть точки две... они задают направление... получаем функцию $%g_s(z)$%... её производная должна возрастать... и так далее...
Таким образом, точек не более одной... можно привести пример, какой-нибудь выпуклой поверхности без критических точек...
и эта точка, если она существует, - точка глобального минимума. - ну, опять же от функции одной переменной с использованием Утв. 2 (точнее его аналога про минимум)...

ссылка

отвечен 14 Окт '16 14:16

изменен 14 Окт '16 14:27

PS: наверное в №3 имелась ввиду строго выпуклая функция... иначе, имеем пример горизонтальной плоскости, имеющей бесконечно много критических точек...

(14 Окт '16 15:00) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,133
×579
×47

задан
14 Окт '16 1:36

показан
539 раз

обновлен
14 Окт '16 15:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru