Здравствуйте, есть некоторый набор задач, который я бы хотел прояснить:

  1. Правильно, что любую сумму геометрической прогрессии можно посчитать по общей формуле (q^(n+1)-1)/(1-q)? И получается нет надобности выводить какие-то частные случаи?

  2. Как можно доказать, что конечная сумма (нечетных квадратов или кубов, натуральных чисел) от k до n, может быть получена лишь знанием общего случая суммы натуральных чисел кубов/квадратов.
    Т.е. 1^2+2^2+3^2... = n(n+1)(2n+1)/6; я понимаю, что можно выразить нечетные черед сумму sum((2k-1)^2) = 4k^2-4k+1 - просуммировав каждый элемент, но можно ли как-то иначе? Первой идеей было вычесть из первоначальной суммы четные квадраты/кубы и получить сумму для нечетных, но там получается не совсем так, насколько я понимаю из-за смещенных индексов. т.е. sum(4k^2), идет по натуральным числам, а должно лишь по четным, иначе получается отрицательное значение.

  3. Математическая индукция, если честно, то вообще слабо себе представляю это явление как само по себе и даже не понимаю, является это аксиоматикой или же как-то строго доказывается в том же мат. анализе, не совсем понимаю что-то сложнее, чем какие-то тождества доказывать, например, неравенство Бернулли: (1+p)^n>=1+np |(1+p) = (1+p)^(n+1)>=1+p+np(1+p); (1+p)^(n+1)>=1+p(n+1)+np^2; но при док-ве отбрасывают np^2 утверждая, что усиляя это неравенство, я не совсем понимаю, почему так можно.

  4. Чисто формальный вопрос, тут совсем не работает LaTeX? Или я не разобрался, как вставлять код? (Также не понял, как тут работать с разделами вопросов)

задан 15 Окт '16 3:29

1) В знаменателе перепутан знак (должно быть q-1), и ещё надо домножить на первый член прогрессии. И тогда получится общий случай формулы.

2) Конечно, можно и иначе. Например, можно подставить n=2k в общую формулу, а потом вычесть учетверённую сумму для n=k.

3) Принцип математической индукции -- это одна из аксиом арифметики. Подробнее можно прочитать в книжках. В доказательстве неравенства Бернулли нет ничего "незаконного", так как слово "отбрасываем" означает, что мы пользуемся верным неравенством $%np^2\ge0$%.

4) Всё почти то же, только для формул вместо $ в начале и в конце идёт $%

(15 Окт '16 8:04) falcao

Я вам написал ниже.

(17 Окт '16 2:06) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
1
  1. Да, если умножить написанное вами на первый член геометрической прогрессии со знаком минус. А какие именно частные случаи вы имеете в виду?

  2. В такой постановке вопроса ответить вам трудно. А доказать для конкретного случая - ну, той же математической индукцией. Что до сумм типа $%\sum_{i=1}^N{i^m}$%, то, очень грубо говоря, можно вспомнить интеграл $%\int{x^mdx}$%, и будет понятно, что сумма имеет порядок $%N^{m+1}$%.

  3. В конкретной части вашего вопроса - если A >= B, то, согласитесь, что если от B отнять что-то положительное, то неравенство будет заведомо выполняться? Если 5 > 4, то уж наверняка 5 > 3... В неконкретной части - да и вообще во всех ваших вопросах - простите за каламбур, но возьмите "Конкретную математику" Грэхема-Кнута-Паташника, самая та книга - там есть все поднятые вами темы.

ссылка

отвечен 15 Окт '16 13:18

изменен 15 Окт '16 13:20

В том то и суть, что я не понимаю, откуда мы берем утверждение, что левая часть больше правой?

(15 Окт '16 13:39) Williams Wol...

Я как и читаю подобную книгу, но я привык для себя строго доказывать, а это я строго понять не могу, а именно мат. индукцию

(15 Окт '16 13:40) Williams Wol...

Или сам факт, что получается (1+p)^(n+1)>=1+p(n+1) уже является док-вом, что левая часть больше правой? Мне плохо дается это следствие непрерывных утверждений у мат. индукции

(15 Окт '16 13:42) Williams Wol...

@Williams Wol...: индукция здесь как бы сама по себе, но помимо неё есть использование элементарных свойств неравенств. Прежде всего, их принято писать в одну строчку, то есть в виде A>=B>=C, где A, B, C -- какие-то выражения. Ясно, что если доказаны два неравенства A>=B, B>=C по отдельности, то из них по транзитивности следует A>=C. Далее, имеется очевидным образом верное неравенство np^2>=0. Из него следует, что A+np^2>=A для любого выражения A. Это на "жаргоне" и означает, что член можно "отбрасывать". Если проследить ход рассуждения, то там больше ничего и нет.

(15 Окт '16 17:51) falcao

Это я понял, а зачем нам его отбрасывать, чтобы получился тот факт, что (1+p)^(n+1)>=1+p(n+1), т.е. чтобы индексы увеличились на единицу? С Вами можно как-то пообщаться в личных сообщениях? Я понимаю свойства транзитивности, что a>b, b>c, a>c и все далее, я на самом деле не глупый и вовсе за 'занудных' утверждений. Суть в другом, получается мы стремимся сделать такую конструкцию, чтобы индексы с n перешли в n+1? jobs.kharlamov@gmail.com

(17 Окт '16 0:57) Williams Wol...

@Williams Wol...: представьте себе, что верно некоторое неравенство вида x>=y+z, и нам известно, что z неотрицательно. Тогда z>=0, откуда y+z>=y+0=y. По транзитивности, получается x>=y+z>=y, то есть x>=y. Теперь зададимся вопросом: как из первого неравенства получилось последнее? Можно словесно сказать: "мы отбросили z". Это так по факту. Почему получилось верное неравенство? См. выше то "занудное" описание, которое я изложил. Считается, что вещи этого уровня всем понятны, что это "детсад". Поэтому сложные и тривиальные объяснения опускают.

Я могу написать со всего адреса, если дадите свой.

(17 Окт '16 1:39) falcao

@Williams Wol...: схема рассуждений методом математической индукции как раз на том и построена, что из справедливости утверждения для какого-то n мы выводим справедливость того же утверждения для следующего значения, то есть такого, где параметр n заменяется на n+1. Вам известна "занимательная" формулировка принципа? "Если первой в очереди стоит женщина, и за каждой женщиной стоит женщина, то все в очереди женщины?" Здесь именно это делается: сначала проверяется что неравенство верно при n=1, а потом для каждого n, для которого всё уже доказано, мы доказываем это при n+1.

(17 Окт '16 2:51) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,886
×44

задан
15 Окт '16 3:29

показан
633 раза

обновлен
17 Окт '16 2:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru