Здравствуйте, есть некоторый набор задач, который я бы хотел прояснить:
задан 15 Окт '16 3:29 Williams Wol... |
отвечен 15 Окт '16 13:18 Harry В том то и суть, что я не понимаю, откуда мы берем утверждение, что левая часть больше правой?
(15 Окт '16 13:39)
Williams Wol...
Я как и читаю подобную книгу, но я привык для себя строго доказывать, а это я строго понять не могу, а именно мат. индукцию
(15 Окт '16 13:40)
Williams Wol...
Или сам факт, что получается (1+p)^(n+1)>=1+p(n+1) уже является док-вом, что левая часть больше правой? Мне плохо дается это следствие непрерывных утверждений у мат. индукции
(15 Окт '16 13:42)
Williams Wol...
@Williams Wol...: индукция здесь как бы сама по себе, но помимо неё есть использование элементарных свойств неравенств. Прежде всего, их принято писать в одну строчку, то есть в виде A>=B>=C, где A, B, C -- какие-то выражения. Ясно, что если доказаны два неравенства A>=B, B>=C по отдельности, то из них по транзитивности следует A>=C. Далее, имеется очевидным образом верное неравенство np^2>=0. Из него следует, что A+np^2>=A для любого выражения A. Это на "жаргоне" и означает, что член можно "отбрасывать". Если проследить ход рассуждения, то там больше ничего и нет.
(15 Окт '16 17:51)
falcao
Это я понял, а зачем нам его отбрасывать, чтобы получился тот факт, что (1+p)^(n+1)>=1+p(n+1), т.е. чтобы индексы увеличились на единицу? С Вами можно как-то пообщаться в личных сообщениях? Я понимаю свойства транзитивности, что a>b, b>c, a>c и все далее, я на самом деле не глупый и вовсе за 'занудных' утверждений. Суть в другом, получается мы стремимся сделать такую конструкцию, чтобы индексы с n перешли в n+1? jobs.kharlamov@gmail.com
(17 Окт '16 0:57)
Williams Wol...
@Williams Wol...: представьте себе, что верно некоторое неравенство вида x>=y+z, и нам известно, что z неотрицательно. Тогда z>=0, откуда y+z>=y+0=y. По транзитивности, получается x>=y+z>=y, то есть x>=y. Теперь зададимся вопросом: как из первого неравенства получилось последнее? Можно словесно сказать: "мы отбросили z". Это так по факту. Почему получилось верное неравенство? См. выше то "занудное" описание, которое я изложил. Считается, что вещи этого уровня всем понятны, что это "детсад". Поэтому сложные и тривиальные объяснения опускают. Я могу написать со всего адреса, если дадите свой.
(17 Окт '16 1:39)
falcao
@Williams Wol...: схема рассуждений методом математической индукции как раз на том и построена, что из справедливости утверждения для какого-то n мы выводим справедливость того же утверждения для следующего значения, то есть такого, где параметр n заменяется на n+1. Вам известна "занимательная" формулировка принципа? "Если первой в очереди стоит женщина, и за каждой женщиной стоит женщина, то все в очереди женщины?" Здесь именно это делается: сначала проверяется что неравенство верно при n=1, а потом для каждого n, для которого всё уже доказано, мы доказываем это при n+1.
(17 Окт '16 2:51)
falcao
показано 5 из 7
показать еще 2
|
1) В знаменателе перепутан знак (должно быть q-1), и ещё надо домножить на первый член прогрессии. И тогда получится общий случай формулы.
2) Конечно, можно и иначе. Например, можно подставить n=2k в общую формулу, а потом вычесть учетверённую сумму для n=k.
3) Принцип математической индукции -- это одна из аксиом арифметики. Подробнее можно прочитать в книжках. В доказательстве неравенства Бернулли нет ничего "незаконного", так как слово "отбрасываем" означает, что мы пользуемся верным неравенством $%np^2\ge0$%.
4) Всё почти то же, только для формул вместо $ в начале и в конце идёт $%
Я вам написал ниже.