Докажите, что последовательность {Xn} имеет предел и найдите его:

  1. Xn+1 = (20 + Xn) / Xn + 1

задан 15 Окт '16 18:49

@IvanIvnovs, в условии $$ x_{n+1}=\frac{20+x_n}{x_n}+1 \quad\text{или}\quad x_{n+1}=\frac{20+x_n}{x_n+1}\;\;? $$

(15 Окт '16 22:01) all_exist

ну, и неплохо бы про $%x_1$% что-нибудь сказать...

(15 Окт '16 22:04) all_exist

@all_exist первый вариант Х1 = 1

(15 Окт '16 22:07) IvanIvnovs
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если дан начальный член $%x_1=1$%, то всё существенно проще (можно исследовать и в общем виде, но будет намного длиннее).

Ясно, что все члены положительны, и все члены кроме первого больше 2. Далее, из $%x_{n+1} > 2$% следует $%x_{n+2} < 12$%, и $%x_{n+3} > \frac{11}3$%.

Рассмотрим разность двух соседних членов: $%x_{n+1}-x_n=\frac{20}{x_n}+2-x_n=\frac{21-(x_n-1)^2}{x_n}$%. Далее, из условия вытекает, что $%x_n=\frac{20}{x_{n+1}-2}$%, поэтому $%x_n-x_{n-1}=x_n-\frac{20}{x_n-2}=\frac{21-(x_n-1)^2}{x_n-2}$%. Допустим, что обе разности ненулевые. Тогда $%\frac{|x_{n+1}-x_n|}{|x_n-x_{n-1}|}=\frac{|x_n-2|}{|x_n|}=|1-\frac2{x_n}|$%. Ввиду того, что $%\frac{13}3< x_n < 12$%, начиная с некоторого номера, имеем неравенства $%\frac16 < \frac2{x_n} < \frac6{13}$%, и тогда $%|1-\frac2{x_n}| < q$%, где $%q=\frac56$%. Это неравенство верно для всех достаточно больших $%n$%, и тогда ряд $%\sum_n|x_{n+1}-x_n|$% сходится по признаку Даламбера. Тогда сходится и ряд без модулей $%(x_1-x_2)+(x_2-x_3)+\cdots$%, что равносильно сходимости $%x_n$%.

Предельное значение $%x$% удовлетворяет уравнению $%x=\frac{20}x+2$%, и оно положительно, откуда $%x=\sqrt{21}+1$%. Выше мы делали предположение о том, что разности вида $%x_n-x_{n-1}$% ненулевые. Если же они нулевые, то $%x_n=\sqrt{21}+1$%, начиная с некоторого члена, и значение предела снова такое же.

ссылка

отвечен 15 Окт '16 22:58

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,441
×729
×313

задан
15 Окт '16 18:49

показан
334 раза

обновлен
15 Окт '16 22:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru