Найдите наименьшее натуральное a такое, что выражение a(a+16)(a+32)(a+48)(a+64) делится на 10^7.

задан 16 Окт '16 13:49

10|600 символов нужно символов осталось
0

Надо отдельно выяснить, при каких a имеет место делимость на 2^7 и на 5^7.

В первом случае ясно, что a должно быть чётно. Далее, если a делится только на 2, но не на 4, то произведение делится всего лишь на 2^5. А если a делится на 4, то имеет место делимость уже на 2^10 как минимум.

Теперь о делимости на 5^7. Можно заметить, что все сомножители дают разные остатки от деления на 5. Поэтому два из них не делятся на 5 одновременно, и на 5^7 должно делиться какое-то одно из них. Полагая a=4k на основании предыдущего и сокращая на 4, мы видим, что на 5^7 делится одно из чисел k, k+4, k+8, k+12, k+16. Ясно, что наименьшее натуральное k, при котором это возможно, равно k=5^7-16. При этом a=4(5^7-16)=312436, и оно будет наименьшим.

ссылка

отвечен 16 Окт '16 14:44

@falcao. И эта задача из действующей олимпиады МФТИ

(24 Окт '16 19:56) nynko

@nynko: ну, значит, вовремя не уследили...

Там, кстати, была целая серия задач от одного и того же участника, если мне память не изменяет.

(24 Окт '16 22:32) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,297

задан
16 Окт '16 13:49

показан
1839 раз

обновлен
24 Окт '16 22:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru