функциональное_уравнение - Функциональное уравнение

Это какое-то странное уравнение. Без дополнительных ограничений, оно допускает полное описание множества решений, но оно совершенно неинтересное.

Прежде всего, $%f(0)=-1$%. Все остальные числа делим на непересекающиеся "орбиты" вида $%a$%, $%2a$%, $%4a$%, ... , и в ту же "орбиту" входят числа $%a/2$%, $%a/4$%, ... . Ясно, что решение уравнения в целом получается из его решений для каждой "орбиты" в отдельности. Выбираем в каждой "орбите" её представитель $%a$%, и выбираем значение для $%f(a)$% произвольно. Далее однозначно находим последовательно $%f(2a)=2f(a)+2a+1$%, $%f(4a)=2f(2a)+4a+1$%, и так далее. Аналогично, в обратную сторону будет $%f(a/2)=\frac{f(a)-a-1}2$%, $%f(a/4)=\frac{f(a/2)-a/2-1}2$%, ... . То есть решений очень много, но в таком виде все они какие-то неинтересные.

Добавление. Задача становится интереснее, если поставить целью нахождение функции с указанным свойством среди "разумных" -- например, задаваемых аналитическими формулами. Тогда можно продифференцировать и получить $%f'(x)-f'(x/2)=1$%. Примером функции, которая уменьшается на единицу при уменьшении аргумента вдвое, является двоичный логарифм. Точнее, $%f'(x)=\log_2|x|$% при $%x\ne0$%. После интегрирования получится функция $%f(x)=\frac{x\ln|x|-x+C}{\ln2}$%, и легко проверить, что при $%C=-\ln2$% она удовлетворяет уравнению для всех $%x\ne0$%, а при $%x=0$% мы уже получили ответ. Он, кстати говоря, равен пределу $%f(x)$% при $%x\to0$%.

Интересно нарисовать график: кривая чем-то по виду напоминает кубический многочлен.