f(x)-2f(x/2)=x+1,f(x)=?Решите если можно,пожалуйста

задан 16 Окт '16 16:31

10|600 символов нужно символов осталось
2

Это какое-то странное уравнение. Без дополнительных ограничений, оно допускает полное описание множества решений, но оно совершенно неинтересное.

Прежде всего, $%f(0)=-1$%. Все остальные числа делим на непересекающиеся "орбиты" вида $%a$%, $%2a$%, $%4a$%, ... , и в ту же "орбиту" входят числа $%a/2$%, $%a/4$%, ... . Ясно, что решение уравнения в целом получается из его решений для каждой "орбиты" в отдельности. Выбираем в каждой "орбите" её представитель $%a$%, и выбираем значение для $%f(a)$% произвольно. Далее однозначно находим последовательно $%f(2a)=2f(a)+2a+1$%, $%f(4a)=2f(2a)+4a+1$%, и так далее. Аналогично, в обратную сторону будет $%f(a/2)=\frac{f(a)-a-1}2$%, $%f(a/4)=\frac{f(a/2)-a/2-1}2$%, ... . То есть решений очень много, но в таком виде все они какие-то неинтересные.

Добавление. Задача становится интереснее, если поставить целью нахождение функции с указанным свойством среди "разумных" -- например, задаваемых аналитическими формулами. Тогда можно продифференцировать и получить $%f'(x)-f'(x/2)=1$%. Примером функции, которая уменьшается на единицу при уменьшении аргумента вдвое, является двоичный логарифм. Точнее, $%f'(x)=\log_2|x|$% при $%x\ne0$%. После интегрирования получится функция $%f(x)=\frac{x\ln|x|-x+C}{\ln2}$%, и легко проверить, что при $%C=-\ln2$% она удовлетворяет уравнению для всех $%x\ne0$%, а при $%x=0$% мы уже получили ответ. Он, кстати говоря, равен пределу $%f(x)$% при $%x\to0$%.

Интересно нарисовать график: кривая чем-то по виду напоминает кубический многочлен.

ссылка

отвечен 16 Окт '16 16:47

изменен 16 Окт '16 20:07

@falcao: огромное спасибо.

(16 Окт '16 21:19) kerim
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×104
×8

задан
16 Окт '16 16:31

показан
551 раз

обновлен
16 Окт '16 21:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru