Задача из книги И.М.Гельфанда "Тригонометрия".

Существует ли такое натуральное число $% n $%, такое что $% |cos(n)|<\frac{1}{1000} $%?

задан 16 Окт '16 16:44

Ввиду иррациональности числа $%\pi$%, значения углов вида n, где n натуральное, расположены на единичной окружности всюду плотно. Это достаточно просто доказать при помощи принципа Дирихле. Отсюда сформулированное утверждение немедленно следует.

Иногда можно привести явные примеры. Скажем, cos 11 близок к 0, но недостаточно. Или cos 355 очень близок к -1. Компьютерные подсчёты показывают, что наименьшее значение в данном случае равно n=40459, но его не так просто обнаружить вручную.

(16 Окт '16 16:59) falcao

@falcao, не совсем понял утверждение про плотность. Как это можно доказать из принципа Дирихле? Ведь можно же предположить, что есть небольшой фрагмент дуги, в который не попадет ни одно значение угла с натуральным аргументом.

(16 Окт '16 17:15) CMTV

@CMTV: это стандартное рассуждение. Его легко придумать или восстановить самому. Разбиваем окружность на много мелких частей. Находим случай попадания двух точек в пределы одной части. Если вторая точка появилась позже первой на k шагов, то после прохода k шагов мы продвигаемся по окружности вперёд или назад на расстояние, меньшее заданного eps. При таких движениях мы никогда не сможем всё время перескакивать через заданный интервал, так как он длиннее eps.

(16 Окт '16 17:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×904
×454
×293

задан
16 Окт '16 16:44

показан
484 раза

обновлен
16 Окт '16 17:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru