Отображение множества всех правых смежных классов группы G по подгруппе H в множество всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, сопоставляющее правому классу Ha левый класс a^-1*H=(Ha)^-1, определено корректно и является биекцией. Помогите, пожалуйста, это доказать?

задан 8 Дек '12 17:39

изменен 8 Дек '12 21:04

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Подгруппа $%H$% группы $%G$% является нормальной?

(8 Дек '12 19:19) Anatoliy

увы, но нет

(8 Дек '12 19:37) Kseniya
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим отображение $%f(Ha)=(Ha)^{-1}=a^{-1}H,$% тогда для любых $%a\ne b \in G \Rightarrow a^{-1}\ne b^{-1}$%(свойство элементов группы)$%,f(Ha)=a^{-1}H,f(Hb)=b^{-1}H$%. Любые два левых или правых смежных класса не имеют общих элементов или совпадают. Имеем $%(a^{-1}\ne b^{-1}, a^{-1}\in a^{-1}H,b^{-1}\in b^{-1}H) \Rightarrow a^{-1}H\cap b^{-1}H=\phi $%, а это значит, что разным правые классам соответствуют при этом отображении разные левые классы - отображение инъекция. Эти рассуждения справедливы и в обратном направлении, значит отображение - биекция. Ну, и еще, для конечных групп это очевидно (количество левых смежных классов равно количеству правых смежных классов). В доказательстве важно, что разным элементам первого множества соответствуют разные элементы второго множества. Успехов Вам!

ссылка

отвечен 8 Дек '12 20:57

изменен 8 Дек '12 21:25

Вижу,что доказали инъективность, а сюръективность где? на этом моменте еще нельзя сказать, что это биекция. Спасибо Вам за доказанное.

(8 Дек '12 21:02) Kseniya

спасибо большое!

(8 Дек '12 21:28) Kseniya
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×247

задан
8 Дек '12 17:39

показан
786 раз

обновлен
8 Дек '12 21:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru