|
Отображение множества всех правых смежных классов группы G по подгруппе H в множество всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, сопоставляющее правому классу Ha левый класс a^-1*H=(Ha)^-1, определено корректно и является биекцией. Помогите, пожалуйста, это доказать? задан 8 Дек '12 17:39 
Kseniya |
|
Рассмотрим отображение $%f(Ha)=(Ha)^{-1}=a^{-1}H,$% тогда для любых $%a\ne b \in G \Rightarrow a^{-1}\ne b^{-1}$%(свойство элементов группы)$%,f(Ha)=a^{-1}H,f(Hb)=b^{-1}H$%. Любые два левых или правых смежных класса не имеют общих элементов или совпадают. Имеем $%(a^{-1}\ne b^{-1}, a^{-1}\in a^{-1}H,b^{-1}\in b^{-1}H) \Rightarrow a^{-1}H\cap b^{-1}H=\phi $%, а это значит, что разным правые классам соответствуют при этом отображении разные левые классы - отображение инъекция. Эти рассуждения справедливы и в обратном направлении, значит отображение - биекция. Ну, и еще, для конечных групп это очевидно (количество левых смежных классов равно количеству правых смежных классов). В доказательстве важно, что разным элементам первого множества соответствуют разные элементы второго множества. Успехов Вам! отвечен 8 Дек '12 20:57 
Anatoliy Вижу,что доказали инъективность, а сюръективность где? на этом моменте еще нельзя сказать, что это биекция. Спасибо Вам за доказанное.
(8 Дек '12 21:02)
Kseniya
спасибо большое!
(8 Дек '12 21:28)
Kseniya
|
Подгруппа $%H$% группы $%G$% является нормальной?
увы, но нет