Найдите такие α и β, при которых функция ƒ(x) является бесконечно малой

http://s009.radikal.ru/i309/1610/32/3590a3e09373.png

http://pixs.ru/showimage/ScreenShot_8710694_23725373.png

задан 19 Окт '16 20:32

изменен 19 Окт '16 21:57

@IvanIvnovs, на радикале ничего не видно... реклама всё загораживает...

(19 Окт '16 21:11) all_exist

@all_exist: если при появлении математического текста вскоре нажать клавишу Esc, то можно "заморозить" вид страницы, и реклама не появится. Хотя, без неё, родимой, по-всякому было бы лучше :)

(19 Окт '16 21:56) falcao

@all_exist , @falcao , к сожалению, я не могу загрузить изображение прямо на форум, поэтому приходится пользоваться другими ресурсами(

(19 Окт '16 21:59) IvanIvnovs

@falcao, он у меня не успевает там появиться... ))) ... сначала лезет реклама, а потом (под ней) появляется скрин...

(19 Окт '16 22:11) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Арктангенс б.м. аргумента ему эквивалентен. Значит, его можно заменить на $%\frac1{x^4+x^3}$%, что эквивалентно $%x^{-4}$%. Значит, под корнем кубическим стоит выражение, эквивалентное $%x^3$%, а сам корень эквивалентен $%x$%. Значит, $%\alpha=1$%.

Теперь надо найти $%\beta$%, то есть предел разности корня кубического и $%x$%. Проще всего здесь будет использовать о-символику, зная, что $%\arctan t=t+o(t^2)$% и $%(1+t)^{1/3}=1+\frac13t+o(t)$% при $%t\to0$%. Тогда $%\arctan\frac1{x^4+x^3}=\frac1{x^4+x^3}+o(x^{-8})$%; после домножения на $%x$% будет $%x\arctan\frac1{x^4+x^3}=\frac1{x^3+x^2}+o(x^{-7})$%. Отсюда следует, что обратная величина имеет вид $%x^3+x^2+o(x^2)$%. Точности второго порядка здесь хватает. Вынося $%x$% за знак кубического корня, получим $%x(1+x^{-1}+o(x^{-1}))^{1/3}=x(1+\frac13x^{-1}+o(x^{-1}))=x+\frac13+o(1)$%. Вычитаем $%x$%, и видим, что $%\beta=\frac13$%.

ссылка

отвечен 19 Окт '16 22:33

10|600 символов нужно символов осталось
0

Ну, по сути требуется проверить существование асимптоты для функции (первого слагаемого с корнем) ... Для коэффициентов асимптоты есть формулы которыми можно воспользоваться... $$ \alpha = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{4/3}\;\text{arctg}^{1/3}\frac{1}{x^3+x^4}} $$ поскольку при $%x\to\infty\Rightarrow \frac{1}{x^3+x^4}\sim\frac{1}{x^4}$%, а при $%z\to 0 \Rightarrow \text{arctg}\,z \sim z$%, то получаем, что $$ \alpha = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{4/3}\;\left(\frac{1}{x^4}\right)^{1/3}} = 1 $$ Вычислим второй коэффициент асимптоты $$ \beta = \lim_{x\to\infty} (f(x) - \alpha x) = \lim_{x\to\infty} \left(\sqrt[3]{\frac{1}{x\;\text{arctg}\frac{1}{x^3+x^4}} } -x\right) $$ Домножим и поделим на сопряжённое... в числителе получим разность кубов... а поскольку имеем разность эквивалентных функций, то в сопряжённом множителе в знаменателе можно заменить все слагаемые на эквивалентные... получим $$ \beta = \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{1}{x\;\text{arctg}\frac{1}{x^3+x^4}} -x^3}{3x^2} = \frac{1}{3} \lim_{x\to\infty} \left( \frac{1}{x^3\;\text{arctg}\frac{1}{x^3+x^4}} -x\right) $$ $$ = \frac{1}{3} \lim_{x\to\infty} \left( \frac{1}{x^3\;\frac{1}{x^3+x^4} } -x\right) = \frac{1}{3} \lim_{x\to\infty} \left( \frac{x^3+x^4}{x^3} -x\right) = \frac{1}{3} $$

ссылка

отвечен 19 Окт '16 22:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,474
×14

задан
19 Окт '16 20:32

показан
385 раз

обновлен
19 Окт '16 22:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru