|
Найдите все такие натуральные $%k$%, что при любом нечетном $%n>200$%, число $%19^n+18^n$% делится на $%k$%. Идей к решению совсем нет. :( задан 22 Окт '16 2:44 
Williams Wol...
показано 5 из 6
показать еще 1
|
Здравствуйте
Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.
Присоединяйтесь!
отмечен:
задан
22 Окт '16 2:44
показан
1134 раза
обновлен
22 Окт '16 20:30
Связанные исследования
Связанные вопросы
Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Ну, навскидку можно сказать, что это 37, т.к. 19^n mod 37 = -18^n; если n - четно будет, то -18 будет 18, а если нечетно - то -18 и сумма сократится до нуля. Но какого-то 'правильного' доказательства не могу придумать.
@Williams Wol...: рассуждение при помощи сравнений совершенно правильное, так как опирается на известные их свойства, доказываемые в элементарных курсах теории чисел.
Осталось доказать, что кроме 37 других делителей нет (не считая k=1). Поэтому 37 будет наибольшим. Подсказка: попробуйте найти связь между числами a_n=19^n+18^n -- например, между тремя последовательными. Из этого будет следовать, что если два соседних числа делятся на k, то и следующее за ними делится на k, причём в обе стороны. И тогда окажется по цепочке, что a_1 делится на k.
А, ну т.е. N = 1, очевидно 19+18 = 37, N = 3; 12691 = 7^3×37 и так далее. Пока писал это, понял, что можно биномиально разложить, там же при нечетных a^(2k+1)+b^(2k+1) = (a+b)(...) - на это вы намекали или как?
@Williams Wol...: нет, там не биномиальное разложение, а несколько другое.
19^n+18^n = a+b; a = (rk-b), так?
@Williams Wol...: нет, это что-то совсем далёкое от того, что имелось в виду. Подразумевалось, что 37a_n=(19+18)(19^n+18^n)=19^{n+1}+18^{n+1}+19*18(19^{n-1}+18^{n-1}). Это равенство связывает три последовательных члена.