Найдите все такие натуральные $%k$%, что при любом нечетном $%n>200$%, число $%19^n+18^n$% делится на $%k$%.
Указать наибольший вариант.
Сама постановка задачи уже странная:'Найдите все такие натуральные $%k$%, укажите наибольший'.

Идей к решению совсем нет. :(

задан 22 Окт '16 2:44

Ну, навскидку можно сказать, что это 37, т.к. 19^n mod 37 = -18^n; если n - четно будет, то -18 будет 18, а если нечетно - то -18 и сумма сократится до нуля. Но какого-то 'правильного' доказательства не могу придумать.

(22 Окт '16 2:46) Williams Wol...

@Williams Wol...: рассуждение при помощи сравнений совершенно правильное, так как опирается на известные их свойства, доказываемые в элементарных курсах теории чисел.

Осталось доказать, что кроме 37 других делителей нет (не считая k=1). Поэтому 37 будет наибольшим. Подсказка: попробуйте найти связь между числами a_n=19^n+18^n -- например, между тремя последовательными. Из этого будет следовать, что если два соседних числа делятся на k, то и следующее за ними делится на k, причём в обе стороны. И тогда окажется по цепочке, что a_1 делится на k.

(22 Окт '16 3:39) falcao

А, ну т.е. N = 1, очевидно 19+18 = 37, N = 3; 12691 = 7^3×37 и так далее. Пока писал это, понял, что можно биномиально разложить, там же при нечетных a^(2k+1)+b^(2k+1) = (a+b)(...) - на это вы намекали или как?

(22 Окт '16 6:02) Williams Wol...

@Williams Wol...: нет, там не биномиальное разложение, а несколько другое.

(22 Окт '16 9:59) falcao

19^n+18^n = a+b; a = (rk-b), так?

(22 Окт '16 19:37) Williams Wol...

@Williams Wol...: нет, это что-то совсем далёкое от того, что имелось в виду. Подразумевалось, что 37a_n=(19+18)(19^n+18^n)=19^{n+1}+18^{n+1}+19*18(19^{n-1}+18^{n-1}). Это равенство связывает три последовательных члена.

(22 Окт '16 20:30) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

19^2(19^(n-2)+18^(n-2) ) - (19^n+18^n) = (19^2-18^2)18^(n-2)=37*(18^(n-2))

ссылка

отвечен 22 Окт '16 18:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,348
×1,230
×1,048

задан
22 Окт '16 2:44

показан
1134 раза

обновлен
22 Окт '16 20:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru