В общем виде дана функция распределения случайной величины.

Как найти несобственный интеграл от разности функции распределения в точке x и в точке x\2?

Предполагаю, что надо воспользоваться знанием факта, что плотность распределения равна первой производной от функции распределения.

задан 24 Окт '16 13:03

Если дана функция F(x), и надо найти интеграл (только почему он несобственный?), то его надо просто найти, зная, например, формулу. Этот вопрос не проще, чем вопрос о том, как проинтегрировать произвольную функцию.

Далее, вероятностный смысл имеет интеграл от плотности (которая не всегда есть!), а не от функции распределения. В последнем случае смысл имеет разность F(x)-F(x/2) как вероятность нахождения с.в. между x/2 и x.

Желательно пояснить, как возник сам вопрос. Тогда можно будет сказать что-то по существу.

(24 Окт '16 13:23) falcao

@falcao Несобственный, потому что область интегрирования (-inf, +inf). В том и проблема, что в методичке поясняется смысл нахождения интеграла от плотности.

А что есть интеграл от разности случайных величин? Вероятность нахождения с.в. в интервале? Если да, то как в общем случае найти её?

(24 Окт '16 13:41) MathMike

@MathMike: я пытаюсь понять, при каких обстоятельствах могла возникнуть задача нахождения интеграла от минус бесконечности до плюс бесконечности от функции F(x)-F(x/2), где F(x) -- функция распределения. Она звучит очень странно, потому что вероятностного смысла такая величина не имеет. Каков всё-таки оригинал вопроса (желательно слово в слово)?

Интеграл от разности самих случайных величин не может рассматриваться в принципе. Это какая-то путаница в понятиях.

(24 Окт '16 14:30) falcao

@falcao Пусть F - функция распределения. Найти интеграл от -inf до +inf величины F(t) - F(t/2) dt

(24 Окт '16 15:12) MathMike

@MathMike: а кто и где поставил такую задачу? Дело в том, что для функции F(x) произвольного вида такой интеграл вообще не обязан сходиться.

(24 Окт '16 15:27) falcao

@falcao Курс тервера в университете; задача с практики.

(24 Окт '16 15:46) MathMike
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

В качестве гипотезы...

Как я понял, интересует вычисление интеграла $$ I=\int_{-\infty}^{+\infty} \Big(F(x)-F\left(\frac{x}{2}\right)\Big)dx $$

По определению несобственного интеграла, мы должны рассмотреть предел собственных интегралов $$ I_{a,b}=\int_{a}^{b} \Big(F(x)-F\left(\frac{x}{2}\right)\Big)dx $$ Применяя формулу интегрирования по частям, получим, что $$ I_{a,b}=b\cdot\Big(F(b)-F\left(\frac{b}{2}\right)\Big)-a\cdot\Big(F(a)-F\left(\frac{a}{2}\right)\Big) - \int_{a}^{b} x\cdot\Big(f(x)- \frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)\Big)dx $$ Вполне очевидно, что если матожидание существует, то $$ \int_{- \infty}^{+ \infty} x\cdot f(x)dx = MX $$ Неменее очевидно, что $$ \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{1}{2}\cdot x\cdot f\left(\frac{x}{2}\right)dx = 2\cdot MX $$ Таким образом, интегральное слагаемое в выражении $%I_{a,b}$% в пределе даст $%MX$%... осталось разобраться с пределами от внеинтегральных слагаемых...

Ну, на вскидку... чтобы существовало математическое ожидание, на бесконечности плотность должна убывать быстрее, чем $%\frac{1}{x^2}$%... следовательно, функция распределения приближается к своим предельным значениям быстрее, чем $%\frac{1}{x}$%... Следовательно, внеинтегральные слагаемые в пределе дадут нуль...

ссылка

отвечен 24 Окт '16 15:30

изменен 24 Окт '16 15:54

@all_exist: Вы всё-таки нашли хоть какую-то разумную интерпретацию, а мне вопрос изначально показался совсем абсурдным. Наверное, при определённых ограничениях на F(x) можно придать всему этому смысл. Но почему предельные слагаемые равны нулю? Скажем, если F(x)=1-1/x на +бесконечности, то первое слагаемое в пределе даёт единицу.

(24 Окт '16 17:06) falcao

@falcao, в решении есть фраза "если матожидание существует, то"... в приведённом Вами примере распределение не будет иметь матожидания...

Наверное и указанную фразу надо было выделить сразу... и последние рассуждения оформить в виде о-символики... но поленился...

(24 Окт '16 23:36) all_exist

@all_exist: я потом уже сообразил, что Вы говорите про "быстрее чем", а я взял просто равенство. То есть при наложении каких-то ограничений всё должно работать. Но это уже скорее обязанность тех, кто задачу ставит.

(24 Окт '16 23:40) falcao

@falcao, ну, возможно в условии и сказано, то распределение имеет конечное матожидание... а может и нет - тогда студент должен обнаружить необходимость этого условия в ходе решения...

(25 Окт '16 0:19) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,220
×625

задан
24 Окт '16 13:03

показан
415 раз

обновлен
25 Окт '16 0:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru