Недавно мы провели первый раз олимпиаду для учителей (по примеру Москвы). Там был новый для нас методический блок. Сейчас я проверяю задачи по Алгебре 7-11 и оказалась, что одна из задач очень трудна (ее решают буквально единицы, 1 процент от всех участников). Вот эта задача.

Методический блок (№№ 6 - 10)
В предложенных ниже "задачах" (№6-8) могут содержаться математические ошибки, как ответах, так и в "условиях" или "решениях". Если некорректно условие, то объясните, почему это так, и найдите ошибки в "решении". Если неверно только "решение", то укажите ошибки и приведите верное решение.

№6. "Задача". Парабола расположена относительно осей координат так, как показано на рисунке.
парабола
Прямая является касательной к ней в точке 3. Выразить координаты вершины параболы через параметр $%c$%.
"Решение". Вершина параболы имеет координаты $%(2; d)$%, значит, уравнение параболы имеет вид $%y = k(x – 2)^2 + d = kx^2 – 4kx + 4k + d$%. Число $%c$% есть значение этого выражения в 0, т.е. $%c = 4k + d$%. Для записи уравнения касательной найдем угловой коэффициент. Имеем $%y' = 2kx – 4k, y'(3) = 2k$%. Значит, уравнение касательной в точке 3 имеет вид $%Y = 2k(x – 3)$%. Эта прямая пересекает ось $%Oy$% в точке $%Y(0) = –6k$%, что равно $%–c$%. Получаем уравнение $%4k + d = 6k$%, откуда $%d = 2k, c = 6k, k = c/6, d = c/3$%.
"Ответ". Вершина параболы находится в точке $%(2; c/3)$%.

Предлагаю участникам форума дать свои варианты решения этой задачи. Еще раз напоминаю, что результатом должно быть не собственное решение исходной задачи, а поиск возможных ошибок в приведенном тексте. Смысл в том, чтобы поработать членом жюри, разбирающим ученическую работу (о чем участники часто забывали).

задан 9 Дек '12 21:58

изменен 9 Дек '12 22:01

Отвечающие заметили, что условие задачи некорректно. Но тогда и решение неверно. В чем ошибка?

(10 Дек '12 19:29) DocentI
1

В решении не использован факт, что парабола проходить через точек (1;0) и (3;0), надо было проверить это условие( которое не выполняется).

(10 Дек '12 19:48) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
3

Уравнение параболы $% y=f(x)=а(x-1)(x-3), (a>0).$% Так-как $%f(0)=c, $% то $% 3a=c\Leftrightarrow a=\frac{c}{3}.$%

$%f(x)=\frac{c}{3}(x-1)(x-3)=\frac{c}{3}(x^2-4x+3).$% Из этого однозначно можно определить координаты вершины $%x_0=\frac{1+3}{2}=2,y_0=f(2)=-\frac{c}{3}.$%

Остается проверить,что касательная в точке $%(3;0)$% проходит через точку $%(0;-c).$% Уравнение касательной будет $% y= f^{'}(3)(x-3)+f(3)\Leftrightarrow y=\frac{2c}{3}(x-3),$% которой не принадлежит точка $%(0;-c).$%Значит задача составлена не корректно.

ссылка

отвечен 9 Дек '12 22:47

изменен 9 Дек '12 22:49

Да, участники форума выглядели бы на этой олимпиаде весьма неплохо!

(9 Дек '12 22:49) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Вершина параболы $%(2; d)$%.Уравнение параболы $%y = k(x – 2)^2 + d ,k>0,d<0$%. Далее $%y(1)=y(3)=k+d=0\Rightarrow d =-k.$% Уравнение касательной в точке $%(3;0), y=2k(x-3)$%. Точка пересечения касательной с осью $%Oy-(0;-6k),c=6k.$% Значит $%d=-\frac{c}{6}.$% Предположение, что $%y(0)=c - $%неверно.

ссылка

отвечен 9 Дек '12 22:41

У Амали немного точнее! Нельзя сказать, какое именно предположение неверно. Просто они противоречат друг другу.

(9 Дек '12 22:48) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
2

Из $%y(1)=0; y(3)=0; x_b=2$% имеем уравнение параболы $$y=1/3c(x-2)^2-1/3c.$$ Уравнение прямой, проходящей через две точки $%(0;-c);(3;0): y=1/3cx-c$% . Уравнение касательной к параболе, проведеной в точке (3;0): $% y=2/3cx-2c$% . Эти прямые - разные, поскольку $%c>0$% (не равно нулю). Следовательно условие задачи некорректно.

ссылка

отвечен 10 Дек '12 1:19

изменен 10 Дек '12 1:31

Так тоже можно. Мне понравилось рассуждение одного из участников олимпиады, что парабола вполне определяется 3 точками, так что условие на касательную является лишним. Правда, я не дала полный балл, так как он не проверил, противоречит ли последнее условие предыдущим. Вы - проверили. Молодец!

(10 Дек '12 1:45) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
0

В задаче не сказано, что ось параболы является вертикальной. Так что, считаю условие задачки верным.
Решения красивого не нашел, да и врядли оно существует. Я пытался расписать параболу в параметрическом виде и решать получившуюся систему уравнений, но это оказалось слишком затратно.

ссылка

отвечен 25 Дек '12 0:09

Вот молодец! Такое предположение учителям в голову не приходило (да и мне тоже).

(25 Дек '12 1:28) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×651

задан
9 Дек '12 21:58

показан
1277 раз

обновлен
25 Дек '12 1:28

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru