|
Недавно мы провели первый раз олимпиаду для учителей (по примеру Москвы). Там был новый для нас методический блок. Сейчас я проверяю задачи по Алгебре 7-11 и оказалась, что одна из задач очень трудна (ее решают буквально единицы, 1 процент от всех участников). Вот эта задача. Методический блок (№№ 6 - 10) №6. "Задача". Парабола расположена относительно осей координат так, как показано на рисунке. Предлагаю участникам форума дать свои варианты решения этой задачи. Еще раз напоминаю, что результатом должно быть не собственное решение исходной задачи, а поиск возможных ошибок в приведенном тексте. Смысл в том, чтобы поработать членом жюри, разбирающим ученическую работу (о чем участники часто забывали). задан 9 Дек '12 21:58 
DocentI |
|
Уравнение параболы $% y=f(x)=а(x-1)(x-3), (a>0).$% Так-как $%f(0)=c, $% то $% 3a=c\Leftrightarrow a=\frac{c}{3}.$% $%f(x)=\frac{c}{3}(x-1)(x-3)=\frac{c}{3}(x^2-4x+3).$% Из этого однозначно можно определить координаты вершины $%x_0=\frac{1+3}{2}=2,y_0=f(2)=-\frac{c}{3}.$% Остается проверить,что касательная в точке $%(3;0)$% проходит через точку $%(0;-c).$% Уравнение касательной будет $% y= f^{'}(3)(x-3)+f(3)\Leftrightarrow y=\frac{2c}{3}(x-3),$% которой не принадлежит точка $%(0;-c).$%Значит задача составлена не корректно. отвечен 9 Дек '12 22:47 
ASailyan Да, участники форума выглядели бы на этой олимпиаде весьма неплохо!
(9 Дек '12 22:49)
DocentI
|
|
Вершина параболы $%(2; d)$%.Уравнение параболы $%y = k(x – 2)^2 + d ,k>0,d<0$%. Далее $%y(1)=y(3)=k+d=0\Rightarrow d =-k.$% Уравнение касательной в точке $%(3;0), y=2k(x-3)$%. Точка пересечения касательной с осью $%Oy-(0;-6k),c=6k.$% Значит $%d=-\frac{c}{6}.$% Предположение, что $%y(0)=c - $%неверно. отвечен 9 Дек '12 22:41 
Anatoliy У Амали немного точнее! Нельзя сказать, какое именно предположение неверно. Просто они противоречат друг другу.
(9 Дек '12 22:48)
DocentI
|
|
Из $%y(1)=0; y(3)=0; x_b=2$% имеем уравнение параболы $$y=1/3c(x-2)^2-1/3c.$$ Уравнение прямой, проходящей через две точки $%(0;-c);(3;0): y=1/3cx-c$% . Уравнение касательной к параболе, проведеной в точке (3;0): $% y=2/3cx-2c$% . Эти прямые - разные, поскольку $%c>0$% (не равно нулю). Следовательно условие задачи некорректно. отвечен 10 Дек '12 1:19 
Lyudmyla Так тоже можно. Мне понравилось рассуждение одного из участников олимпиады, что парабола вполне определяется 3 точками, так что условие на касательную является лишним. Правда, я не дала полный балл, так как он не проверил, противоречит ли последнее условие предыдущим. Вы - проверили. Молодец!
(10 Дек '12 1:45)
DocentI
|
|
В задаче не сказано, что ось параболы является вертикальной. Так что, считаю условие задачки верным. отвечен 25 Дек '12 0:09 
chameleon Вот молодец! Такое предположение учителям в голову не приходило (да и мне тоже).
(25 Дек '12 1:28)
DocentI
|
Отвечающие заметили, что условие задачи некорректно. Но тогда и решение неверно. В чем ошибка?
В решении не использован факт, что парабола проходить через точек (1;0) и (3;0), надо было проверить это условие( которое не выполняется).