Чему равна матрица X, если: AX = XA. А - произвольная матрица.

задан 27 Окт '16 20:42

изменен 27 Окт '16 20:43

Ну, например, единичная и нулевая...

@humansoul, А что означает, что $%A$% - произвольная?... то есть равенство должно выполняться для любой матрицы $%A$%?...

(27 Окт '16 22:14) all_exist

@all_exist: да, это и имеется в виду. Это довольно стандартное упражнение, и оно на форуме не один раз фигурировало.

(27 Окт '16 23:38) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

В качестве A возьмем матрицу E_{ij} - все элементы 0 кроме элемента i, j, последний равен 1, тогда имеем с одной стороны в i строчке стоят x_1j ... x_nj, все остальные элементы нулевые, с другой стороны в j столбце стоят x_i1 ... x_in, все остальные элементы нулевые. Пересечение i строки и j столбца - это элемент x_jj = x_ii, а также из равенства полученным матриц следует, что все недиагональные элементы нулевые, то есть получаем, что X имеет вид diag{a, a, ... a} и действительно матрицы такого вида коммутируют со всеми остальными матрицами.

ссылка

отвечен 27 Окт '16 22:13

10|600 символов нужно символов осталось
0

@falcao: Подскажите, пожалуйста, как связать решение этой задачи и задачи: найти центр матричной алгебры над полем?

ссылка

отвечен 6 Июн '17 10:32

изменен 6 Июн '17 10:51

@any5957: это одно и то же. По определению, матрица принадлежит центру <=> она коммутирует со всеми матрицами.

(6 Июн '17 11:00) falcao

@falcao: где можно посмотреть определение центра матрицы и подобные свойства (матрица принадлежит центру <=> она коммутирует со всеми матрицами)?

(6 Июн '17 11:14) any5957

@any5957: центр есть не у матрицы, а у алгебры. Он состоит из всех матриц, которые коммутируют с любой из матриц. Это не свойство, а определение. Вообще, если решается задача, и в ней попадается непонятное слово, надо всегда с этого и начинать. Определения есть в учебниках; можно также "погуглить". Здесь в одном из пунктов можно увидеть определение центра алгебры над полем. Аналогично определяется центр группы, и некоторых других объектов.

(6 Июн '17 11:19) falcao

@falcao: на будущее буду иметь ввиду :) Главное же ещё и разобраться в решении задачи :) И вот мне один момент в её решении не понятен:...последний равен 1. Какой последний? Все элементы, кроме диагональных, нулевые. А этот "последний" равен 1. Что это за последний? И чему равны диагональные элементы (некоторым числам)? И они между собой равны?

(6 Июн '17 15:38) any5957

@any5957: матрица e_{ij} устроена очень просто: в ней все нули, кроме одной единицы, которая стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца. В тексте сказано то же самое. Слово "последний" относится к слову "элемент", упомянутому непосредственно перед этим. Чтобы понять решение, Вам нужно перемножить матрицы туда и сюда, а потом сравнить. Равенство a_{ii}=a_{jj} вытекает из сравнения матриц, как и всё остальное.

(6 Июн '17 16:01) falcao

@falcao: то есть матрица E_{ij} имеет следующий вид: на главной диагонали стоят равные какие-либо ненулевые элементы, а на пересечении i-ой строки и j-го столбца стоит 1. Остальные элементы данной матрицы равны 0.

(6 Июн '17 16:16) any5957

@any5957: я дал определение матрицы e_{ij}. Оно понимается однозначно. Вы зачем-то пытаетесь его пересказать своими словами. Получается плохо, потому что главная диагональ там не играет никакой роли, и упоминать её не надо. Цитирую, что было сказано: "в ней все нули, кроме одной единицы". Например, у матрицы e_{12} имеется одна единица (1-я строка, 2-й столбец), а ВСЕ остальные элементы (включая элементы главной диагонали) -- нулевые.

(6 Июн '17 16:24) falcao

@falcao: я от этого отталкивалась и поэтому такое недоумение:Пересечение i строки и j столбца - это элемент x_jj = x_ii, а также из равенства полученным матриц следует, что все недиагональные элементы нулевые, то есть получаем, что X имеет вид diag{a, a, ... a}. Здесь указано, что все недиагональные элементы нулевые, а про диагональные указано то, что они равны. Как следствие и возник вопрос: а чему же равны диагональные элементы?. Также указано: X имеет вид diag{a, a, ... a}. То есть Х имеет вид diag{0, 0, ... 0}? Извините, что столько расспрашиваю. Очень хочу разобраться.

(6 Июн '17 16:32) any5957

@any5957: не надо путать элементы двух матриц. Про X мы сначала ничего не знаем, и постепенно этот вопрос выясняем. Для этого мы составляем уравнение Xe_{ij}=e_{ij}X. У матрицы e_{ij} есть только одна единица -- это как если бы в пустом зрительном зале сидел один человек в i-м ряду и на j-м месте. Пока Вы не начнёте перемножать матрицы и смотреть (где X произвольна), ничего ясно не будет. Надо как можно быстрее перейти от слов и расспросов к действиям.

(6 Июн '17 18:29) falcao

@falcao: сейчас перемножила несколько матриц и получилось, что матрица Х состоит из нулевых элементов и только на диагонали могут стоять любые элементы (даже ненулевые). Верно? И вот это из решения не поняла: Пересечение i строки и j столбца - это элемент x_jj = x_ii? С остальным разобралась :)

(6 Июн '17 19:22) any5957

@any5957: по-моему, это не очень эффективный способ обсуждения. Так придётся что-то обсуждать неопределённое число раз. Мне будет проще написать готовое решение.

(6 Июн '17 20:11) falcao
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,323
×416
×120

задан
27 Окт '16 20:42

показан
1008 раз

обновлен
6 Июн '17 20:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru